А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

I. Теория пределов. Непрерывность функций

чает непрерывность сложной функции z = f (j(x)) в точке х0. x Замечание. Полученное при доказательстве равенство

было использовано в примерах в конце разд. 2.5.

Теорема 3.5 (непрерывность элементарных функций). Любая элементарная функция непрерывна во всех точках, где она определ ена.

¡ Так как все элементарные функции получаются из основных элементарных функций путем арифметических операций (сло жение, вычитание, умножение, деление) и путем составления сложны х функций, а эти действия, согласно теоремам 3.3 и 3.4, сохраняют непре рывность, то достаточно доказать непрерывность основных эле ментарных функций в точках их определения.

Проверим это только для некоторых из них, используя опред еление 3.2:

3. Непрерывность функции

Определение 3.3. Пусть функция y = f (x) определена в точке х0 и в некотором интервале ( x0 - d, x0 ) (èëè ( x0, x0 + d )). Эта функция называется непрерывной слева (или справа) в точке х0 , åñëè

3.2.Классификация точек разрыва

Ñучетом введенного в разд. 2.1 понятия односторонних предел ов

непрерывность функции y = f (x) в точке х0 равносильна выполнению условия

Определение 3.4. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, может быть, самой этой точки (т.е. функция определена в проколотой окрестности точки x0). Точка х0 называется точкой разрыва функции y = f (x) , если эта функция не является непрерывной в точке х0 .

В точке разрыва функции y = f (x) условие (3.2) не выполняется. Определение 3.5. Точка разрыва х0 функции y = f (x) называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные

односторонние пределы f (x0 - 0) è f (x0 + 0) .

Определение 3.6. Точка разрыва первого рода х0 функции y = f (x) называется устранимой, если f (x0 - 0) = f (x0 + 0) .

В такой точке либо f (х0) не определена, либо f (x0 - 0) =

= f (x0 + 0) ¹ f (x0). Если положить f (x0) = f (x0 - 0) = f (x0 + 0), то f (x) станет непрерывной в точке х0, т.е. разрыв можно устранить, изменив

значение функции в одной точке.

Определение 3.7. Точка разрыва х0 функции y = f (x) называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов f (x0 - 0) è f (x0 + 0) бесконечен или не существует.

Исследовать функцию на непрерывность означает, что нужно указать все точки разрыва функции, дать их классификацию и на рисовать схему графика функции в окрестностях точек разрыва.

Примеры графиков функции y = f (x) приведены на рис. 13.

I. Теория пределов. Непрерывность функций

Íà ðèñ 13,à õ0 – точка разрыва первого рода, разрыв не устранимый; на рис. 13,б) х0 – устранимая точка разрыва; на рис. 13,в, г х0 – точка раз-

ранимая точка разрыва; f (p - 0) = +¥, f (p + 0) = -¥ Ю x = p – точка разрыва

второго рода; такими же будут все точки вида x = pn, nО Z , n ¹ 0. Схема графика функции в окрестностях точек разрыва приведена на рис. 14.

Ðèñ. 14

3.Непрерывность функции

3.3.Непрерывность функции на множестве

Определение 3.8. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Далее речь будет идти о функциях, непрерывных на отрезке. П ри этом под непрерывностью на левом краю отрезка будет поним аться непрерывность справа, а под непрерывностью на правом краю отрезка будет пониматься непрерывность слева.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Сначала будет доказана следующая лемма.

(На самом деле, справедлива и обратная теорема, и мы получа ем другое определение предела функции по Гейне, равносильно е определению по Коши.)

$N : "n > N (| xn - a |< d (è xn ¹ a )) Þ (| f (xn) - b | < e). x

Теорема 3.6. Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a,b] . Тогда f (x) ограничена на этом отрезке.

¡ Функция f (x) ограничена Û $M > 0: | f (x)| £ M. Предположим, что теорема не верна, т.е. "nО N $xn Î[a,b]: | f (xn ) | > n (иначе М = n).

I. Теория пределов. Непрерывность функций

одного предела, то мы получили противоречие, которое и док азывает теорему. x

Таким образом, множество значений непрерывной на отрезке a,b[ ]

Теорема 3.7. Пусть функция y = f (x) непрерывна на [a,b] Ю она достигает на этом отрезке верхней и нижней граней, т.е. x0 [a,b] è

x0 [a,b]: f (x0) = M è f (x0) = m.

¡ Для верхней грани (для нижней аналогично) рассмотрим последовательность {en} ¯ 0, т.е. последовательность, которая убывает и стре-

1

мится к 0, например en = n . Согласно определению 1.5 " n О N $ xn Î[a,b]: M - en < f (xn) < M. Òàê êàê xn Î[a,b], òî {xn } îãðà-

Теорема 3.8. Функция y = f (x) непрерывна на [a,b] Ю она принимает на этом отрезке любое промежуточное значение между m и M, т.е. если cО (m,M), то $ хотя бы одна точка хО[a,b]: f (x0) = c.

[ a2,b2 ] ту половину отрезка [a1,b1 ], ÷òî f (α2) < c, f (β2) > c и т.д. (каждый раз не обязательно, чтобы αn < βn, может быть и наоборот).

В итоге мы либо через конечное число шагов получим такую среднюю точку одного из отрезков х0, ÷òî f (x0) = c, и тогда теорема доказана, либо получим систему вложенных отрезков [ αn,βn ] c длинами

f (a) f (b) < 0 (т.е. на концах отрезка [a,b] функция f (x) принимает значения разных знаков), то существует хотя бы одна точка x0Î(a,b):

f(x0) = 0.

¡По условию m < 0, а M > 0, следовательно, в теореме 3.8 в каче-

стве точки с можно взять с = 0. x

Данное следствие может применяться для приближенного ре - шения уравнений, которые точно решить невозможно.

Пример. Найти корни уравнения f (x) = x3 + x − 1 = 0.

I. Теория пределов. Непрерывность функций

Ð å ø å í è å

f (0) = -1 < 0, f (1) = 1 > 0 Ю уравнение имеет корень Î [0,1];

f (1/2) = 1/8+1/2 -1 = -3/8 < 0 Ю уравнение имеет корень Î [1/2, 1];

f (3/4) = 27/64 + 3/4 -1 = 11/64 > 0 Ю уравнение имеет корень Î [1/2,

3/4] è ò.ä.

Таким способом находится корень уравнения с любой нужной точностью.

3.4. Равномерная непрерывность функции

Определение 3.9. Функция y = f (x) называется равномернонепрерыв-

ной на множестве D, если "e > 0 $d = d(e) > 0 : "x1,x2 ÎD, | x2 - x1 | < d

(| f (x2) - f (x1) |< e ).

Смысл понятия равномерной непрерывности состоит в том, что если две точки множества D достаточно близки, то и функции в этих

точках тоже близки. Главным в определении 3.9 является то, чт оd зависит только от e и годится для всех точек множества D сразу.

Зафиксируем в определении равномерной непрерывности од ну из точек х1 èëè õ2, тогда получим определение непрерывности функции в этой точке. Следовательно, если функция равномерно непрерывна на некотором множестве, то она непрерывна на всем мн ожестве.

Обратное утверждение не является верным, например:

D = (0,1]. Берем произвольное e > 0 и ищем по графику d = d(e). При y

e

e

Ðèñ. 15

3. Непрерывность функции

движении отрезка фиксированной длины e вверх по оси Оy d умень-

шается и стремится к 0 (рис. 15), значит, для D = (0,1] единого d > 0 нет, следовательно, наша функция не является равномерно непре рывной на D, хотя она и непрерывна на этом множестве.

Для некоторых множеств обратное утверждение является ве рным. Теорема 3.9 (Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то

она равномерно непрерывна на этом отрезке.

¡Предположим противное, а именно: не для "e > 0 $ d, указанное

âопределении 3.9 ε0, для которого d нет, т.е.

"d > 0 $ x1,x2 Î[a,b]: | x2 - x1 | < d, íî | f (x2 ) – f (x1 ) | ³ e0 Û

$e0 > 0 : "d > 0 $x1,x2 Î[a,b]: | x2 – x1 | < d, íî | f (x2 ) – f (x1 ) | ³ e0 (таким образом, при отрицании символы " и $ меняются местами).

Возьмем последовательность {dn} ¯ 0, например, dn = 1n; указан-

теореме 2.11 выделим сходящуюся подпоследовательность. Для про-

(точнее, каждое из этих двух неравенств будет верно для все хn, начи- ная с некоторого, своего для каждого неравенства, номера; о ба неравенства вместе будут верны для всех n, начиная с наибольшего из этих двух номеров), следовательно,

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Геометрический смысл производной

Пусть M0 – фиксированная точка непрерывной кривой y = f (x) ; М – произвольная точка этой кривой. Проведем всевозможные секу-

ùèå Ì0М; предельное положение таких секущих при Dx ® 0 (или при M ® M0 ), если такое существует, называется касательной к кривой y = f (x) в точке М0 (ðèñ. 16).

y

M(x,y)

ществует, значит, предельное положение секущей, т.е. касате льная, в точке х0 существует тогда, и только тогда, когда в этой точке существу-

ет производная f ¢(x0), которая и является угловым коэффициентом

рассматриваемойкасательной.Следовательно,используяу равнениепрямой по точке и угловому коэффициенту, мы можем записать уравнение

касательной к кривой y = f (x) в точке М0(õ0, f (x0)) â âèäå

y - f (x0) = f ¢(x0)(x - x0) èëè y = f (x0) + f ¢(x0)(x - x0) . (4.2)

Нормалью к кривой y = f (x) в точке М0(õ0, f (x0)) называется прямая, проведенная через эту точку перпендикулярно касател ьной в этой

4. Производная

а это равенство является одним из определений непрерывно сти функ-

öèè y = f (x) в точке х0. x

Замечание. Пример 3) показывает, что обратная теорема неверна: функция y = x не имеет производной в точке 0, хотя и является непрерывной в этой точке.

4.2. Вычисление производной функции

Теорема 4.2. Пусть в некоторой точке существуют производные u ¢ и v ¢, тогда в этой точке справедливы следующие равенства:

1)c′ = 0;

2)(u + v)′ = u′ + v′;

3)(u − v)′ = u′ − v′;

4)(uv)′ = u′v + uv′;

5)(cu)′ = cu′;

II.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

¡1) это пример 1 из разд. 4.1;

= u¢(x)v(x) + u(x)v¢(x)

(здесь, в частности, учтена непрерывность функции v, которая следует из существования ее производной). Из доказанной формулы следует, что

(uvw)¢ = ((uv)w)¢ = (uv)¢w + (uv)w¢ = (u¢v + uv¢)w + uvw¢ = u¢vw + uv¢w + uvw¢

(аналогично будет и для большего числа сомножителей);

=u¢(x)v(x) - u(x)v¢(x) v2(x)

(здесь тоже учтена непрерывность v). x

4. Производная

Теорема 4.3 (производная обратной функции). Пусть функция

y= f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в точке x0 имеет конечную и отличную от 0 производную f ′(x0); пусть для функции

y= f (x) существует обратная функция x = f −1(y), непрерывная в соответствующей точке y0 = f (x0). Тогда в точке y0 эта обратная функ-

Dx

следует, что при Dy ¹ 0 Dx тоже отлично от 0); из непрерывности обратной функции следует, что при Dy ® 0 Dx тоже будет стремиться к

Теорема 4.4 (о производной сложной функции). Пусть дана сложная функция z = f (g(x)). Пусть функция y = g(x) имеет производную в точке х0, а функция z = f (y) имеет производную в точке y0 = f (x0). Тогда сложная функция z = f (g(x)) также имеет производную в точке

õ0 è zx¢ (x0) = f ¢(y0)g¢(x0). Опуская аргументы, последнее равенство можно записать в виде zx¢ = zy¢ yx¢ .

¡ Дадим x приращение x = x − x0, тогда y получит приращение Dy = y - y0, а zполучитприращение Dz = f (y) - f (y0 ). Нам нужно найти

функция y = g(x) имеет производную в точке x0, то она непрерывна

II.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

âэтой точке, значит, при Dx ® 0 приращение Dy тоже стремится к 0:

Dy ® 0 è

5)(sin x)¢ = cos x;

6)(cos x)¢ = -sin x;

13)(shx)¢ = chx;

14)(chx)¢ = shx;

4. Производная

15)(thx)¢ = ch12x ;

16)(cthx)¢ = - sh12x .

¡ 1) было доказано выше;