А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

5. Дифференциальные уравнения

Пример. Решить дифференциальное уравнение 2yy¢¢ = y¢2 +1. Ð å ø å í è å

Обозначая y¢ = z; z = z(y), y¢¢ = z¢z , имеем 2yz¢z = z2 +1 . Это уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися пе ременными:

Это общий интеграл исходного уравнения. Возводя в квадрат обе части равенства, находим общее решение y:

Если бы мы решали задачу Коши для нашего уравнения, т.е. доб а- вили бы к нему начальные условия, например y(2) = 1, y¢(2) = 3 , то постоянные тоже проще было бы находить «по дороге»: счита я, что

в равенстве y¢ = ± c1y -1 x = 2 , получаем 3 = ± c1 -1 . Значит, знак нужно брать «+», тогда c1 -1 = 9, c1 = 10 . Аналогично изложенному выше

Таким образом, для того чтобы решить уравнение высшего по рядка такими методами, нужно, чтобы оно допускало понижение п орядка до первого, а полученное уравнение первого порядка имело один из видов, рассмотренных в разд. 14.3.

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

15.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Определение 15.1. Линейным дифференциальным оператором называется оператор вида

где все коэффициенты pi = pi (x), i = 1,2,...,n , определены и непрерывны на некотором интервале (a, b).

Линейный дифференциальный оператор ставит в соответств ие функции y = f (x) новую функцию L(y) , определенную по формуле (15.1).

Свойства линейного дифференциального оператора:

1.L(ay) = aL(y) , ãäå α – постоянная.

¡L(ay) = (ay)(n) + p1(ay)(n−1) + ...+ pn (ay)=

=a(y(n) + p1y(n−1) + ...+ pny) = aL(y). x

2.L(y1 + y2 ) = L(y1) + L(y2).

¡L(y1 + y2 ) = (y1 + y2 )(n) + p1(y1 + y2 )(n−1) + ...+ pn(y1 + y2 ) =

=y1(n) + p1y1(n−1) + ...+ pny1 + y2(n) + p1y2(n−1) + ...+ pny2 = L(y1) + L(y2 ). x

Определение 15.2. Линейным однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида L(y) = 0 , или

Свойства решений линейного однородного дифференциально го уравнения.

1. Если y = f (x) – решение уравнения (15.2), а c – произвольная постоянная, то cy – тоже решение уравнения (15.2).

¡ Согласно свойству 1 линейного дифференциального оператора

L(cy) = cL(y) = c × 0 = 0. x

5.Дифференциальные уравнения

2.Åñëè y1 = y1(x) è y2 = y2(x) – решения уравнения (15.2), то y1 + y2 – тоже решение уравнения (15.2).

¡ Согласно свойству 2 линейного дифференциального оператора

L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2) = 0 + 0 = 0 . x

3. Åñëè y1, y2,..., yn – решения уравнения (15.2), а c1, c2,..., cn – произвольные постоянные, то y = c1y1 + c2y2 + ...+ cnyn – тоже решение уравнения (15.2).

¡ Это свойство является очевидным следствием свойств 1 и 2. x Функция y = c1y1 + c2y2 + ...+ cnyn зависит от x и от n произвольных

постоянных. При любых значениях этих постоянных она являе тся решением уравнения (15.2). Ниже будут изучаться условия, при кот орых эта функция является общим решением уравнения (15.2). т.е. усло вия, при которых она удовлетворяет определению 14.7.

15.2. Линейная зависимость и независимость функций

Определение 15.3. Функции y1(x), y2(x),..., yk(x) называются линейно зависимыми на некотором множестве M, если существуют постоянные c1, c2,..., ck , хотя бы одна из которых отлична от нуля, такие, что

(здесь знак тождества « ≡ » означает выполнение равенства (15.3) для

x M ).

Функции y1(x), y2(x),..., yk (x) называются линейно независимыми на множестве M, если тождество (15.3) выполняется только при всех коэффициентах ci = 0 (i = 1, 2,..., k ).

следует, что любой x О M является корнем уравнения (15.4). Но, с другой стороны, любой многочлен степени k имеет только k корней, откуда следует, что единственным возможным является случай c0 = c1 = c2 = ... = ck = 0. x

Пример 2. Покажем, что функции y1 = ek1x , y2 = ek2x ,..., yn = eknx , ãäå ki ¹ kj при i ¹ j , линейно независимы на любом конечном или бесконеч- ном промежутке M.

15.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

¡Пусть

c2(k2 - k1) + c3(k3 - k1)e(k3−k2)x +...+cn(kn -k1)e(kn −k2)x º 0. Теперь дифференцируем это равенство по x и т. д. В итоге получим

cn(kn - k1)(kn - k2) ×... ×(kn - kn−1)e(kn −kn−1)x º0.

Так как в этом равенстве все сомножители, кроме первого, от личны от 0, то отсюда имеем cn = 0. x

Линейно зависимые и линейно независимые функции обладаю т обычными свойствами линейно зависимых и линейно независ имых элементов линейного пространства, в частности свойствам и линейно зависимых и линейно независимых векторов.

Кроме того, оказывается, что линейная зависимость и линей ная независимость функций тесно связаны с так называемым опр еделителем Вронского.

Определение 15.4. Пусть даны ( k − 1) раз дифференцируемые функции y1(x), y2(x),..., yk (x) . Определителем Вронского этих функций называется следующий определитель k-го порядка:

(все функции в этом определителе берутся в некоторой точк еx).

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

однако эти функции линейно независимы на интервале (–1, 1): п усть c1y1 + c2y2 º 0 . Беря в этом равенстве x ³ 0 и x < 0 , соответственно имеем:

c1x2 + c2 0 º 0 Þ c1 = 0 è c10 + c2x2 º 0 Þ c2 = 0.

Теорема 15.2 (вторая теорема об определителе Вронского). Пусть n

решений y1(x), y2(x),..., yn(x) линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка L(y) = 0 линейно независимы на интервале (a, b). Тогда определитель Вронского этих функций не обращается в 0 ни в одной точке интервала (a, b): W (x) ¹ 0 , x О(a,b) .

(Первая и вторая теоремы об определителе Вронского относ ятся к разным объектам: первая – к произвольным функциям, вторая – к решениям линейных однородных дифференциальных уравнени й; для последних либо определитель Вронского тождественно рав ен 0, либо он не обращается в 0 ни в одной точке рассматриваемого интерв ала.)

¡ Пусть $x0 Î(a,b) : W (x0) = 0 .

Рассмотрим функцию y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + ... + cnyn(x) . Согласно свойству 3 решений линейного однородного дифференциального

уравнения, при любых значениях постоянных сi , i = 1, 2,...,n , функция y (x) является решением уравнения L(y) = 0 . Теперь подберем постоянные сi так, чтобы эта функция в точке x0 удовлетворяла нулевым началь-

ным условиям y(x0) = 0 , y¢(x0) = 0 , y¢¢(x0) = 0 , ..., y(n−1)(x0) = 0 . Полу- чаем систему n линейных однородных уравнений с n неизвестными

c1,c2,...,cn :

Определитель этой системы – это определитель, составленн ый из коэффициентов при неизвестных ci , т.е. определитель Вронского

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Значит, они образуют фундаментальную систему решений.

При других начальных условиях, таких, что W (x0) ¹ 0 , получим другие фундаментальные системы решений нашего уравнени я.

Теорема 15.3 (структура общего решения линейного однородного уравнения). Пусть функции y1,y2,...,yn образуют фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравне-

ãäå c1,c2,...,cn – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

¡ Нужно проверить, что функция (15.8) удовлетворяет определению общего решения дифференциального уравнения 14.7. При люб ых значениях постоянных сi , i = 1, 2,...,n , эта функция согласно свойству 3 решений линейного однородного дифференциального уравн ения является решением уравнения L(y) = 0 .

Теперь проверим условие 2¢ определения 14.7: зададим в точке

x0 (a,b) произвольные начальные условия y(x0) = y0 , y′(x0) = y0′ , ..., y(n−1)(x0) = y0(n−1) и покажем, что постоянные ci можно подобрать так,

чтобы функция (15.8) удовлетворяла этим начальным условиям. П о- лучаем систему n линейных уравнений с n неизвестными c1,c2,...,cn .

Определитель этой системы – это определитель, составленн ый из коэффициентов при неизвестных ci , т.е. определитель Вронского

5. Дифференциальные уравнения

W(x0), который отличен от 0 в силу линейной независимости функций y1,y2,...,yn . Но тогда система (15.9), как система n линейных уравненийсnнеизвестнымииопределителем,неравным0,имеетединственное решение. x

Таким образом, для нахождения общего решения уравнения (15.2) нужно знать фундаментальную систему его решений. Однак о в общем случае методов нахождения такой фундаментальной системы не существует.

Ниже будет описан способ нахождения фундаментальной сис темы решений для одного класса уравнений вида L(y) = 0 .

15.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

В этом разделе будут рассматриваться оператор вида

ãäå a0 ¹ 0, a1,a2,...,an – постоянные действительные числа, и уравнение вида L(y) = 0, x О R или

Уравнение (15.11) можно разделить на a0, поэтому к нему применимы предыдущие рассуждения и общее решение (15.11) ищется по формуле (15.8): y = c1y1 + c2y2 + ...+ cnyn, ãäå c1,c2,...,cn – произвольные постоянные, а y1,y2,...,yn – фундаментальная система решений.

Для нахождения последней будем искать решения (15.11) в виде y = ekx , где k – некоторое число. Подставляя y = ekx в (15.11) и учитывая, что (ekx )(m) = kmekx , имеем

т.е. функция y = ekx является решением уравнения (15.11) тогда, и только тогда, когда число k является корнем уравнения (15.12).

Определение 15.6. Равенство (15.12) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (15.11).

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Характеристическоеуравнение(15.12)получаетсяиздифферен циального уравнения (15.11) заменой производной y(i) íà ki , i = 0, 1, 2,..., n (под нулевой производной функции понимается сама эта фун кция).

Определение 15.7. Левую часть характеристического уравнения (15.12) назовем характеристическим многочленом и обозначим Φ(k) .

Уравнение (15.12), как и всякое алгебраическое уравнение степ ени n, имеет ровно n корней с учетом их кратности. Рассмотрим следующие четыре случая:

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.

Пусть k1,k2,...,kn – эти корни. Этим корням соответствуют n решений уравнения (15.11): y1 = ek1x , y2 = ek2x ,..., yn = eknx . Эти функции линейно независимы (см. пример 2 в разд. 15.2). Значит, они образу ют фундаментальную систему решений уравнения (15.11) и общее реш е- ние этого уравнения задается формулой (15.8).

Пример. Решить дифференциальное уравнение y′′′ − 2y′′ − 8y′ = 0 . Ð å ø å í è å

Характеристическое уравнение имеет вид k3 − 2k2 − 8k = 0 . Решаем это уравнение: k(k2 − 2k − 8) = 0; k1 = 0, k2 = 4, k3 = −2. Этим трем действительным различным корням соответствуют три решения из фундам ентальной системы решений: y1 = 1, y2 = e4x, y3 = e−2x , и общее рашение исходного уравнения имеет вид

y= c11+ c2e4x + c3e−2x = c1 + c2e4x + c3e−2x.

2.Все корни характеристического уравнения различные, но ср еди них имеются комплексные.

Так как в предыдущих рассуждениях нигде не использовалос ь, что корни характеристического уравнения и коэффициенты k в решениях вида y = ekx – действительные числа, то все результаты пункта 1 справедливы и в случае таких комплексных чисел, однако в фунда ментальной системе решений часть функций окажется тогда комплек снознач- ной. Чтобы от таких функций перейти к функциям с действите льными значениями, поступим следующим образом.

Пусть k1 = a + ib – корень характеристического уравнения (15.12) кратности 1. Так как это уравнение с действительными коэфф ициен-

òàìè, òî k2 = α − iβ – тоже корень уравнения (15.12) кратности 1. Этим корням соответствуют следующие решения уравнения (15.11):

5. Дифференциальные уравнения

y1 = e(α+iβ)x = eαx ×eiβx = eαx (cosbx + i sinbx) ; y2 = e(α−iβ)x = eαx ×e−iβx = eαx (cosbx - i sinbx).

Так как любая линейная комбинация (даже с комплексными ко эффициентами) решений линейного однородного уравнения тож е является решением этого уравнения, то решениями (15.11) будут и функц ии

Покажем, что если в фундаментальной системе решений y1,y2,...,yn заменить y1 è y2 на такие их линейные комбинации, то система останется фундаментальной. Для этого согласно опред елению фундаментальной системы решений 15.5, достаточно доказать, ч то функции новой системы будут линейно независимыми. Прирав няем к 0 линейную комбинацию таких функций:

Так же можно поступить с любой другой парой комплексно со пряженных корней кратности 1 уравнения (15.12).

Пример. Решить дифференциальное уравнение y′′ − 2y′ + 2y = 0 .

Ð å ø å í è å

Запишем характеристическое уравнение: k2 − 2k + 2 = 0 . Комплексные корни k1,2 = 1± 1− 2 = 1 ± i этого уравнения кратности

1, и общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = c1ex cosx + c2ex sin x.

15.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

3.Среди корней характеристического уравнения имеются дей ствительные кратные.

Пусть k1 – действительный корень характеристического уравнения (15.12) кратности r1. Согласно предыдущему, ему соответствует решение уравнения (15.11) y1 = ek1x . Но чтобы сохранить количество решений (n) в фундаментальной системе, этому корню должно соответствовать r1 решений. Покажем, что такими решениями будут функции

y1 = ek1x, y2 = xek1x, y3 = x2ek1x,..., yr1 = xr1−1ek1x.

Сначала докажем, что все эти функции являются решениями у равнения (15.11). Для этого рассмотрим два случая:

ãäå an−r1 ¹ 0.

Тогда соответствующее дифференциальное уравнение (15.11) им е- ет вид

a0y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−r1 y(r1) = 0, an−r1 ¹ 0,

и, очевидно, что все наши функции удовлетворяют этому урав нению, так как все встречающиеся в нем производные этих функций равны 0; б) k1 ¹ 0 ; в этом случае характеристическое уравнение (15.12) име-

åò âèä

F(k) = (k - k1)r1 F(k),

k

Согласно формуле Лейбница (uv)(k) = åCki u(i)v(k −i), учитывая, что

i=0

v(m) = (ek1x )(m) = k1mek1x , уравнение (15.13) можно переписать в виде

5. Дифференциальные уравнения

Характеристическое уравнение для дифференциального ура внения (15.14) имеет вид

Так же можно поступить с любым другим действительным крат - ным корнем характеристического уравнения.

Пусть ki , i = 0,1,2,..., l , – корни характеристического уравнения (15.12) кратности ri ³ 1 . Этим корням будут соответствовать n решений дифференциального уравнения (15.11):

5. Дифференциальные уравнения

Исходя из этого, разделим (15.18) на ek1x :

P1 (x)+ P2 (x ) e(k 2 – k1 )x +...+ Pl (x ) e(k l – k1 )x ≡ 0.

Продифференцируем полученное равенство r1 раз по x (степень P1(x) меньше r1):

где в силу условий km - k1 ¹ 0, Qm(x), m = 2,3,..., l , – новые многочлены тех же степеней, что и Pm(x) .

Разделим (15.19) на e(k2−k1)x :

Q2 (x )+Q3 (x ) e(k3– k 2 )x +...+Ql (x ) e(kl – k2 )x ≡ 0.

Дифференцируем это равенство r2 раз по x (степень Q2(x) меньше

y= c1ex + c2xex +c3e–x.

4.Среди корней характеристического уравнения имеются ком плексные кратные.

Так как в рассуждениях п. 3 не использовалась действительн ость корней характеристического уравнения и коэффициентов k в решени-

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

ÿõ âèäà y = xrekx, то все результаты этого пункта справедливы и в слу- чае комплексных чисел, однако при этом в фундаментальной системе решений часть функций окажется комплекснозначными. Чтоб ы от них перейти к функциям с действительными значениями, поступи м аналогично п. 2.

Пусть k1 = a + ib – корень характеристического уравнения (15.12) кратности r. Так как это уравнение с действительными коэффициентами, то k2 = a - ib – тоже корень уравнения (15.12) кратности r. Этим корням согласно п. 3 соответствует 2r решений уравнения (15.11):

Теперь заменим эти решения на их линейные комбинации (кот о- рые тоже являются решениями уравнения (15.11)). Получим новые 2r решений:

Поступив так с каждой парой комплексных кратных корней, п о- лучим новую систему из n решений, которые, как уже показано в п. 2, являются линейно независимыми. Значит, эти решения образу ют фундаментальную систему решений уравнения (15.11).

Пример. Решить дифференциальное уравнение yIV + 2y′′ + y = 0 .

ствии с результатами п. 4 общим решением дифференциальног о уравнения будет функция

y = c1 cosx + c2 sin x + c3x cos x + c4x sin x.

Подведем итог: общее решение уравнения

a0y(n) + a1y(n−1) + ... + an−1y′ + any = 0

имеет вид

y = c1y1 + c2y2 + ...+ cnyn,

5. Дифференциальные уравнения

ãäå c1,c2,...,cn – произвольные постоянные, y1,y2,...,yn – фундаментальная система решений уравнения, которая ищется следую щим образом. Cоставляем характеристическое уравнение:

a0kn + a1kn−1 + ... + an−1k + an = 0.

Это уравнение имеет ровно n корней (с учетом кратности). Этим корням соответствуют следующие n функций в фундаментальной системе решений:

1.Каждому действительному корню k кратности 1 соответствует решение y = ekx .

2.Каждой паре комплексно сопряженных корней k1 = α + iβ è

=a - ib , кратности 1 каждый, соответствуют два решения:k2

15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков

В этом разделе, как и в разд. 15.1 и 15.3, под L(y) понимается линейный дифференциальный оператор вида

где все коэффициенты pi = pi (x), i =1, 2,..., n , определены и непрерывны на некотором интервале (a, b), и рассматривается так называемое неоднородное уравнение L(y) = f (x) , где f (x) также определена и непрерывна на интервале (a, b), или

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

называется однородным линейным уравнением, соответству ющим уравнению (15.22). Общее решение (15.23) находится в соответствии с теоремой 15.3.

Теорема 15.4 (структура общего решения линейного неоднородного уравнения). Пусть y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn – общее решение однородного уравнения (15.23) (здесь y1,y2,...,yn – фундаментальная система решений этого уравнения, c1,c2,...,cn – произвольные постоянные), а y – частное решение неоднородного уравнения (15.22), т.е. одно из

является общим решением уравнения (15.22). То есть общее решен ие линейного неоднородного уравнения есть сумма общего реш ения соответствующего однородного уравнения и частного решения и сходного неоднородного уравнения.

¡ Нужно проверить, что функция (15.24) удовлетворяет определению общего решения дифференциального уравнения (14.7).

Êàê è y , эта функция зависит от x и n произвольных постоянных c1,c2,...,cn . При любых значениях этих постоянных функция (15.24) является решением уравнения (15.22), так как

L(y) = L(y + y ) = L(y) + L(y ) = 0 + f (x) = f (x).

íûå ci можно подобрать так, чтобы функция (15.24) удовлетворяла этим начальным условиям. Имеем

5. Дифференциальные уравнения

y0(n−1) - y (n−1)(x0) . Определитель этой системы – это определитель Вронского W(x0), который отличен от 0 в силу линейной независимости функций y1,y2,...,yn . Значит, система (15.25) имеет единственное решение. x

Приведем здесь еще одну теорему, которая в некоторых случ аях облегчает нахождение частного решения неоднородного ур авнения.

Теорема 15.5. Пусть y1 – частное решение уравнения L(y) = f1(x) , à y2 – частноерешениеуравнения L(y) = f2(x).Тогда y1 + y2 –частноере- шение уравнения L(y) = f1(x) + f2(x) .

¡L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2) = f1(x) + f2(x). x

Âсоответствии с теоремой 15.4 для нахождения общего решения уравнения (15.22) нужно знать фундаментальную систему решени й соответствующего однородного уравнения (15.23) (а такую сист ему мы умеем находить для уравнений с постоянными коэффициента ми – см. разд. 15.4) и частное решение данного неоднородного уравнени я.

15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

В этом разделе коэффициенты линейного оператора L(y) – постоянные действительные числа:

L(y) = a0y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y¢ + any, a0 ¹ 0.

Тогда неоднородное L(y) = f (x) и соответствующее однородное L(y) = 0 уравнения из предыдущего раздела будут иметь вид

Эти уравнения можно разделить на a0, поэтому сюда применимы

все результаты разд. 15.5, и общее решение (15.26) будет иметь вид (15.24): y = y + y .

Частное решение неоднородного уравнения (15.26) будем искать при следующих двух правых частях f (x), которые называются правыми частями специального вида:

15. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

1) f (x) = Pk (x)eαx , ãäå Pk (x) – многочлен степени k.

Пусть число a является корнем характеристического уравнения для однородного уравнения (15.27) кратности r (если α не является корнем этого уравнения, то будем считать, что r = 0 ).

а).Сначаларассмотримслучай a = 0,т.е. f (x) = Pk (x) .Вэтомслучае вполне естественно искать частное решение неоднородног о уравнения (15.26) y в виде y = R(x), где R(x) – многочлен некоторой степени m.

Подставим такую функцию в уравнение (15.26), которое в данном случае (см. случай 3, п. а разд. 15.4) имеет вид

Âэтой формуле R(n)(x) – многочлен степени m - n ; R(n−1)(x) – многочлен степени m - (n -1) = m - n + 1 ,... , R(r)(x) – многочлен сте-

пени m - r . Тогда ( an−r ¹ 0 ) левая часть формулы (15.28) есть много- член степени ( m - r ). Но правая часть этой формулы есть многочлен степени k, значит, m - r = k, m = k + r .

Âлевую часть формулы (15.28) не войдут коэффициенты много- члена R(x) при x0, x1, x2,..., xr−1 (так как эти коэффициенты «пропадут» при нахождении производных R(x) порядка r и выше), значит, эти коэффициенты можно взять любыми. Взяв их равными 0, имеем

y = b0xk+r + b1xk+r−1 + ...+ bk xr = xr (b0k + b1xk−1 + ...+ bk ) = xrQk (x),

ãäå Qk(x) – многочлен степени k с неопределенными коэффициентами, т.е. коэффициентами, которые нам еще надо найти.

б). Теперь рассмотрим случай произвольного a . Характеристическое уравнение для однородного уравнения (15.27) при этом имее т вид F(k) = (k - a)r F (k) = 0, где F (a) ¹ 0 . Сделаем в уравнении (15.26) замену y = ueαx , где u = u(x) – новая неизвестная функция. Получим следующее дифференциальное уравнение для u(x) (см. 3, п. б разд. 15.4):