А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

существует предел наших интегральных сумм при l ® 0 , который не зависит от выбора точек zk è zk , то этот предел называется интегралом от функции комплексного переменного w = f (z) вдоль кривой (AB ) и обозначается ò f (z)dz .

(AB)

Таким образом,

Пусть zk = xk + iyk , Dxk = xk+1 - xk , Dyk = yk+1 - yk , тогда

Dzk = zk+1 - zk = (xk+1 + iyk+1) - (xk + iyk ) = = (xk +1– xk ) + i (yk +1– yk ) = Dxk + iDyk .

Пусть zk = xk + ihk . Обозначая Rew = u, Imw = v , имеем

f (z) = u(x,y)+ iv(x,y) Þ f (zk ) = u(xk ,hk )+ iv(xk ,hk ).

Тогда из формул (22.5) и (20.3) получаем, что

приусловиисуществованияэтихкриволинейныхинтеграло в(второгорода).

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 22.4 (существование и вычисление интеграла от функции комплексного переменного). При условии существования криволинейных интегралов в правой части формулы интеграл от функции комплексного переменного существует и вычисляется:

Условия существования этих криволинейных интегралов и ф ормула для их вычисления приведены в теореме 20.1: если (AB ) задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t [α,β] , функции x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [α,β], при изменении t от a до β кривая описывается в направлении от A к B (не обязательно α < β ) , функции u(x,y) и v(x,y) непрерывны на (AB ), то интегралы в правой части формулы (22.6) существуют и имеют вид

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Уравнения кривой (AB ) x = x(t), y = y(t), t О[a,b], можно записать в виде z = x + iy = x(t) + iy(t), т.е. z = z(t), t О[a,b], ïðè ýòîì z ¢ (t) = = x ¢ (t ) + i y ¢ (t ).

Формулу (22.7) можно переписать следующим образом:

(мы получили формулу (22.8) при помощи формальных преобразов а- ний; на самом деле если рассмотреть комплекснозначные фун кции действительного переменного z = z(t) = x(t) + iy(t) и их производные z¢(t) = x¢(t) + iy¢(t) , то эти преобразования будут иметь вполне строгий характер).

ãäå (Γρ ) – окружность радиуса ρ с центром в точке z0 (как обычно, при отсутствии указания на направление обхода контура это направл ение берется положительным, т.е. для правой системы координат против часо вой стрелки).

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Основные свойства интегралов от функций комплексного переменного

Сначала, при условии существования интегралов, укажем три свойства, которые, очевидно, следуют из аналогичных свойств кр иволинейного интеграла (второго рода) и формулы (22.6).

(AB)

¡Сначала приведем некоторые свойства модулей комплексных чисел.

1. z1 + z2 £ z1 + z2 . Действительно, пусть

z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 , z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) Þ

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

y

т.е. вектора OM1 +OM2 ; длина же суммы двух векторов не превосходит суммы их длин (рис. 147).

2. z1 – z2 ³ z1 – z2 . Действительно,

z1 = (z1 – z2 )+ z2 £ z1 – z2 + z2 Þ z1 – z2 ³ z1 – z2 . 3. z1z2 = z1 z2 .

Действительно,

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy 2 ) = x1x2 – y1y2 + i (y1x2 + x1y 2) =

=(x1x2 - y1y2)2 + (y1x2 + x1y2)2 =

=x12x22 + y12y22 - 2x1x2y1y2 + y12x22 + x12y22 + 2x1x2y1y2 =

Применяя свойства 1 (для нескольких слагаемых) и 3, имеем

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Здесь Dz k = | zk+1 - zk | – это расстояния на комплексной

ной, вписанной в дугу (AB )

(рис. 148). Но длина всякой вписанной ломаной не превосходит длины

22.5. Интегральная теорема Коши

Теорема 22.6. Пусть функция w = f (z) аналитическая в односвязной области (D) и (L) М (D) – кусочно-гладкая замкнутая кривая. Тог-

äà ò f (z)dz = 0.

(L)

¡ Для нахождения ò f (z)dz используем формулу (22.6)

(L)

Два последних криволинейных интеграла в этой формуле удо влетворяют условию независимости криволинейного интеграла второго

рода от формы пути интегрирования ¶¶Py = ¶¶Qx (см. 20.3), при выполнении которого òPdx+Qdy=0:

(L )

· для первого из них P = u, Q = -v Ю ¶¶Py = ¶¶uy , ¶¶Qx = - ¶¶xv ;

· для второго P = v, Q = u Ю ¶¶Py = ¶¶vy , ¶¶Qx = ¶¶ux ,

à ¶¶uy = - ¶¶xv è ¶¶vy = ¶¶ux , так как аналитическая функция согласно теоре-

ме 22.3 удовлетворяет условиям Коши–Римана (естественно, пр и таком доказательстве предполагается, что функции u(x,y) и u(x,y) удовлетворяют условиям этой теоремы). x

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Следствие 1. Из доказательства теоремы видно, что если функция w = f (z) аналитична в односвязной области (D) и (AB) (D) – кусоч-

но-гладкая кривая, то ò f (z)dz зависит не от формы пути (AB ), а

(AB)

лишь от положения ее начальной и конечной точек.

Следствие 2. Пусть функция w = f (z) аналитична в односвязной области (D) и Φ(z) – какая-либо ее первообразная в этой области, т.е. Φ′(z) = f (z), z (D) . Тогда для любых z1z2 (D)

что согласно условиям Коши–Римана для аналитической фун кции Φ(z) равно

Последнее выражение согласно формуле (20.7) для случая двух п еременных имеет вид

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Теорема 22.7 (интегральная теорема Коши для неодносвязных областей). Пусть область (D) ограничена конечным числом кусочно-глад- ких кривых и функция w = f (z) является аналитической в некоторой области (D1), включающей (D) и всю ее границу (на рис. 149 сплошной линией изображена граница (D), а штриховой – граница (D1)). Тогда

¡ Взяв произвольные точки E , F , G , H на контуре (L), проведем гладкие самонепересекающиеся кривые (EA), (BC), (DF) (на рис. 150 A,B,C,D,K ,L,M ,N – произвольные точки внутренних границ). К двум получившимся односвязным областям применим теоре му 22.6:

этом интегралы по введенным перегородкам сокращаются, та к как эти перегородки проходятся дважды: один раз – в одном, другой р аз – в противоположном направлении. Получим

H

F

K M

C D

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

−(Lk ) (Lk )

(здесь -(Lk ) – это контур (Lk ) , проходимый в противоположном направлении).

Изложенное аналогично для большего количества «дырок» и для противоположного направления обхода границ области (D). x

22.6. Интегральная формула Коши

Теорема 22.8. Пусть функция w = f (z) аналитическая в односвязной области (D), (L) (D) – кусочно-гладкая замкнутая кривая и z0 – точка внутри этой кривой. Тогда

(направление обхода контура выбирается положительным).

На рис. 151 внешней штриховой линией изображена граница обла - сти (D). Пусть (Γρ ) – окружность радиуса r с центром в точке z0, целиком содержащаяся внутри (L) (для этого r должно быть достаточно малым). В области, ограниченной внешней и любой внутренней (п о отношению к (Γρ ) ), содержащей z0, штриховыми линиями, функция

22. Элементы теории функций комплексного переменного

(Ãρ) (L)

Ðèñ. 151

f (z) является аналитической (как отношение двух аналитически х z - z0

функций при знаменателе, отличном от 0). Согласно теореме 22.7

íî 2pi × f (z0) . Учитывая формулу (22.9), нам надо проверить, что

Для проверки равенства (22.13) докажем, что интеграл в его лево й части можно (за счет выбора r ) сделать сколь угодно малым. Пусть ε – сколь угодно малое число. Так как w = f (z) непрерывна в точке z0, то в некоторой окрестности этой точки | f (z) − f (z0) | < e и, значит, для достаточно малых r (таких, что окружность (Γρ ) попадает в эту окрестность) | f (z) − f (z0) | < e äëÿ z (Γρ ) . Тогда z (Γρ )

Согласно формуле (22.10) при l – длине (Γρ ) имеем

а это число действительно сколь угодно мало. x

22. Элементы теории функций комплексного переменного

что и приводит к формуле (22.14). Проведенные преобразования, конечно, не являются доказательством формулы (22.14) в силу недо казанной возможности дифференцирования интеграла по пара метруz.

Строгое доказательство формулы (22.14) проведем методом математической индукции. При n = 0 формула верна, так как при этом она превращается в интегральную формулу Коши. Теперь предпол ожим, что формула (22.14) верна при n = k , и докажем, что она тогда будет верна и при n = k + 1, k = 0,1,2,..., т.е.

s=0

àиз (22.16) и (22.17) следует, что

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление