Добавил:

catsneverdie Я уверяю Вас, мне можно доверить огнестрельное оружие Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.10.2023

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

6. Ðÿäû

t	x0+t	x	ö
x = x0 + t ò...dt =	ò	...dx = ò ...dx	ø÷ сколько угодно раз с сохранением
0	x0	x0

области сходимости.

17.6.Разложение функций в степенные ряды

Âэтом разделе рассмотрим возможность разложения функци и в степенной ряд, т.е. представления ее в виде суммы степенног о ряда. Пусть такое представление возможно:

∞
f (x) = åan(x - x0)n, \| x - x0 \| < R.	(17.17)

n=0

Используя возможность почленного дифференцирования сте пенного ряда, продифференцируем обе части равенства (17.17) k раз, k = 1,2,... Учитывая, что производная постоянной равна 0, получим

∞	∞
f ¢(x) = åann(x - x0)n−1,	f ¢¢(x) = åann(n -1)(x - x0)n−2,...,
n=1	n=2

∞

f (k)(x) = åann(n - 1)× ...× (n - k + 1)(x - x0 )n−k , |x – x0 | < R. (17.18)

n=k

Положим, что в формуле (17.18) x = x0 . При этом все слагаемые в правой части, кроме первого, в котором n = k , обратятся в 0, и мы получим f (k)(x0) = akk !; ak = f (kk)(!x0).

Таким образом, если разложение (17.17) возможно, то его коэффициенты обязательно определяются по формулам

an	=	f (n)(x	0	)	, n = 0, 1, 2,...	(17.19)
		n!

То есть разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид

∞	f (n)(x )
f (x) = å	0	(x - x0 )n .	(17.20)
f (x) = å	n!	(x - x0 )n .	(17.20)
n=0	n!
n=0

Ряд в правой части этой формулы называется рядом Тейлора для функции f (x). В частности, при x0 = 0

17. Функциональные ряды

∞	f (n)(0)
f (x) = å		xn.	(17.21)

n=0	n!

Однако наличие у функции всех производных и сходимость ее ряда Тейлора еще не являются достаточными условиями справедл ивости разложения (17.20), что показывает следующий пример.

–

Пример. Функция f (x) =íe

ïðè x¹0;

î0

ïðè x= 0.

Ð å ø å í è å

При x ¹ 0 эта функция, очевидно, имеет производные любого поряд-

ка. Будем искать ее производные в точках x ¹ 0 и 0:

−1

f ¢(x) = e

;

−1

∞

-1

f ¢(0) = lim

f (x) - f (0)

= lim

x−1

∞

= 0;

= lim

lim

x→0

x→0 x

x→0

2 x→0

-e x2 ×

e x2

–

∞

f ¢(x) - f ¢(0)

f ¢¢(0) = lim

2 e

x−4 ∞

-4x−5

lim

= 2lim

x→0

n®0

x→0

e x2

-e x2 ×

∞

= 4lim

x→0

-ex2 ×

Аналогичным образом можно доказать, что

f (k)(0) = 0 , k = 3, 4, 5,...

Таким образом, все члены ряда Тейлора при x0 = 0 для этой функции равны 0, но тогда сумма ряда Тейлора тоже равна 0 и тем самым (при x ¹ 0 ) не равна самой функции.

Теорема 17.9. Пусть функция y = f (x) имеет в некоторой окрестности U (x0) производные любого порядка. Тогда для справедливости разложения (17.20) в этой окрестности необходимо и достаточно , чтобы

äëÿ "x ÎU (x )	lim r	(x) = 0 , ãäå	r (x) =	f (n+1)(c)	(x - x )n+1	– остаточ-
				(n + 1)!
0	n→∞ n		n		0

ный член формулы Тейлора в форме Лагранжа (c – промежуточная точ- ка между x0 è x).

340

341

6.Ðÿäû

¡Разложим функцию y = f (x) по формуле Тейлора в окрестности

U (x0) :

f (k)(x0)

f (x) =

− x

)

+ r (x),

(17.22)

k !

k=0

и перейдем в этой формуле к пределу при n → ∞ .

Пусть справедлива формула (17.20). Тогда из (17.22)

f (k)(x )

rn(x) = f (x)- å

(x - x0 )k

lim rn

(x) = lim f (x) −

k !

k=0

n→∞

f (k)(x )

∞

(k)(x )

(17.20)

− lim

− x0)k = f (x) − å

(x − x0 )k

k !

n→∞

k=0

Пусть, теперь lim r

(x) = 0. Тогда из (17.22)

n→∞ n

f (k)(x

)

(x - x0)k = f (x)- rn (x) è

k !

k=0

f (k)(x )

$ lim

(x - x0)k = lim f (x)- limrn (x)= f (x )- 0= f (x).

k !

n→∞

k=0

n→∞

∞

f (k)(x

)

Значит, å

− x0)k = f (x), т.е. справедлива формула (17.20). x

k !

k=0

Замечание. Естественно, теорема справедлива и при других формах

записи остаточного члена формулы Тейлора.

Проверка выполнения условия lim r

(x) = 0 на практике затрудни-

n→∞ n

тельна, поэтому приведем следующее достаточное условие возможности разложения функции в ряд Тейлора.

Теорема 17.10. Пусть функция y = f (x) имеет в некоторой окрес-

тности U (x0) производные любого порядка и			пусть $M > 0:
"x ÎU (x ) , n = 0, 1, 2,... (	f (n)(x)	≤ M ) . Тогда для	"x ÎU (x ) ñïðà-

0			0
ведливо разложение (17.20).

17.Функциональные ряды

¡Согласно теореме 17.9, нам достаточно доказать, что для

f (n+1)(c)

"xÎU(x0) ç lim rn

(x) = lim

- x0 )n+1

= 0, c между x0 è x÷.

+ 1)!

èn→∞

n→∞

По условию теоремы

(x)

≤

− x

n+1 .

Рассмотрим ряд

(n + 1)!

∞

n+1 . Этот ряд сходится по признаку Даламбера, так как

x - x0

n=0 (n +1)!

x - x

n+2

(n + 1)!

| x

- x |

lim

= lim

= 0

< 1.

n+1

n + 2

n→∞ (n + 2)!M

x - x0

n→∞

Отсюда, по теореме 16.4, lim

x − x

n+1

= 0 . Но тогда и

n→∞ (n + 1)!

lim

r (x)

= 0 . x

n→∞

Примеры разложений функций в ряд Тейлора при x0 = 0.

1. Функция f (x) = ex. Тогда f (n)(x) = ex ,

f (n)(0)= 1, n = 0, 1, 2,...Þ

∞

ex = å

= 1+ x +

+ ...

(17.23)

n=0

Из теоремы 17.10 следует, что это разложение справедливо на лю - бом отрезке [−H ,H ], так как на этом отрезке f (n)(x) £ eH , n = 0,1,2,... , значит, это разложение справедливо на всей прямой.

2. Функция f (x) = sin x. Тогда f (0) = 0, f ¢(x) = cos x, f ¢(0) = 1,

f ′′(x) = − sin x, f ¢¢(0) = 0,			f ¢¢¢(x) = -cos x, f ¢¢¢(0) = -1, f IV (x) = sin x,... Þ
	x3			x5		x7	∞	x2n+1
sin x = x -		+			-		+ ... = å(-1)n		.	(17.24)

3!			5!		7!		n=0	(2n + 1)!

Разложение справедливо на всей прямой, так как для всех x f (n)(x) £ 1, n = 0,1,2,...

3. Функция f (x) = cos x.

Продифференцируем обе части полученного разложения (17.24) (степенной ряд в правой его части можно дифференцировать почленно по всей прямой):

342

343

6. Ðÿäû

∞

2n + 1

cos x = å(-1)n

x2n Þ

n=0

(2n + 1)!

∞

x2n

cos x = å(-1)n

= 1-

+ ...

(17.25)

(2n)!

n=0

4. Функция f (x) = ln(1 + x). Проверка выполнения условий теоремы 17.10 здесь довольно сложна, поэтому поступим по-другому: ра с-

смотрим производную этой функции f ¢(x) = 1+1x .

Правая часть этой формулы является суммой бесконечно убы вающей геометрической прогрессии с первым членом b1 =1 и знаменателем q = -x , следовательно, при q < 1, т.е. при x О(-1, 1), f ¢(x) = 1- x + x2 - x3 +... (пишем саму прогрессию).

Интегрируем обе части этого равенства от 0 до x (степенной ряд в правой части интегрируем почленно):

òx

f ¢(t)dt =

f (t)

0x = ln(1+ x) = t

0x -

x + ..., ò.å.

∞

ln(1+ x) = x -

+ ...= å(-1)n−1

, x Î(-1,1). (17.26)

n=1

5. Функция

f (x) = (1 + x)α (биномиальный ряд). Тогда f (0) = 1,

f ¢(x) = a(1+ x)α−1,

f ¢(0) = a,

f ¢¢(x) = a(a -1)(1+ x)α−2, f ¢¢(0) = a(a -1),...,

f (n)(0) = a(a -1) ×... ×(a - n +1).

Следовательно, ряд Тейлора для функции f (x) = (1+ x)α имеет вид

∞		× ...× (a - n + 1)
1+ å	a(a -1)		xn.	(17.27)

n=1		n!

Ряд (17.27) называется биномиальным рядом. Радиус его сходимости

R = lim	an	= lim	a(a - 1)× ...× (a - n + 1)(n + 1)!	= lim	n + 1	= 1.

	an+1		n!a(a - 1)× ...× (a - n)		a - n
n→∞		n→∞		n→∞

17. Функциональные ряды

Поскольку здесь трудно проверить выполнение условий тео ремы 17.10, будем доказывать возможность разложения совершенно др угим способом. Рассмотрим задачу Коши

ì		+	x)y¢		= a
(1			x)y¢		y;
í							(17.28)
îy(0) = 1.
Пусть решение этой задачи y = y (x) существует. Тогда
(1+ x)	dy(x)			= ay(x),
(1+ x)				= ay(x),
	dx					dy(x)
что при x ¹ -1 и y(x) ¹ 0 равносильно уравнению						dy(x)	= a	dx
									.
						y(x)		1 + x	.

Последнее равенство есть равенство дифференциалов двух функций. Для такого равенства необходимо и достаточно, чтобы сами функции, т.е. интегралы от их дифференциалов, отличались на постоян ную:

dy(x)

= aò

+ c1;

y(x)

1+ x

y (x)

= a ln

1+ x

+ ln

; ln

y (x)

= ln

c2 (1+ x)α

;

y(x) = ±c (1+ x)α;

y(x)

= c(1 + x)α.

Для нахождения постоянной c используем начальное условие

y(0) = 1

y(0) = c = 1Þ y(x) = (1+ x) .

Теперь проверим, что эта функция действительно является р еше-

нием задачи Коши (17.28): для "x ОR

(1+ x)a(1+ x)α−1 = a(1+ x)α ;

(1+ x)α|

=1.

x=0

Таким образом, задача Коши (17.28) имеет единственное решение

y(x) = (1+ x)α.

Теперь докажем, что при x О(-1, 1)

сумма биномиального ряда

(17.27) также является решением этой задачи Коши. Для этого сна чала подставим функцию (17.27) в уравнение (1+ x)y¢ = ay (при этом ряд мы будем дифференцировать почленно, что, как и для всякого ст епенного ряда, возможно внутри интервала сходимости):

∞	×...×	∞
y = 1+ å a(a -1)	×...×	(a - n + 1)xn Þ y¢ = å a(a - 1)× ...× (a - n + 1)xn−1.
n=1	n!	n=1	(n -1)!

344

345

6. Ðÿäû

Надо проверить выполнение равенства

∞		a(a -1)× ...× (a - n + 1)						∞
(1+ x)å		a(a -1)× ...× (a - n + 1)			xn−1		= a + aå a(a - 1)× ...× (a - n + 1)xn ,
(1+ x)å					xn−1		= a + aå a(a - 1)× ...× (a - n + 1)xn ,
n=1		(n -1)!						n=1		n!
èëè
∞								∞
å	a(a -1)× ...× (a - n + 1)			xn−1		+		å a(a - 1)× ...× (a - n + 1)xn =
å				xn−1		+		å a(a - 1)× ...× (a - n + 1)xn =
n=1		(n -1)!						n=1	(n - 1)!
		∞						×...× (a - n + 1)
		= a + aå	a(a -1)					×...× (a - n + 1)		xn.
		= a + aå								xn.
		n=1						n!
		n=1

В первой сумме левой части этой формулы обозначим n -1= k , а затем (так как индекс суммирования можно обозначать любо й буквой) вместо k снова напишем n :

∞			∞		a(a -1)×...× (a - n + 1)
å a(a -1)	×...×(a - n)xn + å				a(a -1)×...× (a - n + 1)		xn =
å a(a -1)	×...×(a - n)xn + å						xn =
n=0	n!		n=1		(n -1)!
		∞		×...× (a - n + 1)
= a + aå			a(a -1)	×...× (a - n + 1)		xn.
= a + aå						xn.
		n=1			n!
		n=1

Чтобы доказать справедливость последнего равенства, дос таточно проверить, что в нем совпадают коэффициенты при одинаковы х степенях x слева и справа.

Коэффициент при x0: α = α . Коэффициент при xn, n = 1, 2,...:

a(a -1)×...×(a - n)	+	a(a -1)×...×(a - n +1)	= a	a(a -1)×...×(a - n + 1)	;
n!		(n - 1)!		n!

a(a - 1)×...×(a - n) + a(a - 1)×...×(a - n + 1)n = a2(a - 1)×...×(a - n + 1).

Вынося в левой части за скобку a(a - 1)Ч...Ч(a - n + 1) , имеем

a(a -1)×...×(a - n +1)(a - n + n) = a2(a -1)×...×(a - n +1),

что действительно верно.

17. Функциональные ряды

Теперь подставим функцию (17.27) в начальное условие:

é	∞	a(a -1)× ...×	(a - n + 1)		ù
ê1	+ å			xn ú			= 1.
		n!
ë	n=1				û	x=0

В соответствии с теоремой 14.1 задача Коши (17.28) имеет единственное решение, поэтому функция (1+ x)α и сумма биномиального ряда (17.27) должны совпадать, следовательно,


			∞			×...× (a - n + 1)
(1+ x)α = 1+ å					a(a -1)	×...× (a - n + 1)				xn =
(1+ x)α = 1+ å										xn =
			n=1			n!
			n=1
= 1+ ax +	a(a - 1)	x2	+	a(a - 1)(a - 2)			x3	+ ...,		x Î(-1, 1).	(17.29)
= 1+ ax +		x2	+				x3	+ ...,		x Î(-1, 1).	(17.29)
2!			3!
Замечание. При натуральных a, a = n, f (n)(x) = 0									ïðè n = a + 1,		a + 2,...,

следовательно, биноминальный ряд превращается в конечную сумму, содержащую (a +1) слагаемое, а равенство (17.29) превращается в формулу бинома Ньютона (естественно, при этом xОR ).

Из разложений (17.23)–(17.26) и (17.29) можно получать и другие разложения.

17.7. Применение разложений в степенные ряды для решения дифференциальных уравнений

Изучение в предыдущем разделе биномиального ряда уже пок азало возможность применения разложений функций в степенны е ряды для решения дифференциальных уравнений. Приведем еще оди н подобный пример.

ìy¢¢ = 2xy¢ + 4y;

ï (0) = 0; Пример. Решить задачу Коши: нy

ïîy¢(0) = 1.

Ð å ø å í è å

Уравнение линейно, но его коэффициенты не являются постоя нными числами, поэтому применение изложенной выше теории уже не является возможным. Будем искать решение у в виде суммы степенного ряда:

∞

y = åanxn.

n=0

346

347

6. Ðÿäû

Подставим в эту формулу х = 0: y (0) = a0; так как по условию y (0) = 0, то a0 = 0. ∞

Продифференцируем степенной ряд почленно: y¢ = åannxn−1; подста-

n=1

вим в эту формулу х = 0: y¢(0) = a1 ; так как по условию y¢(0) = 1, то a1 = 1 .

∞

Еще раз дифференцируем почленно степенной ряд: y¢¢ = åann (n -1)xn−2.

n=2

Подставим найденные производные в исходное дифференциальное уравнение:

∞	∞	∞
åann(n -1)xn−2 = 2åan nxn + 4		å an xn.
n=2	n=1	n=0

В ряду в левой части обозначим n – 2 через k, а затем вместо k снова напишем n:

∞	∞	∞
åan+2(n + 1)(n + 2)xn =2	åan nxn + 4	å an xn.
n=0	n=1	n=0

Для выполнения этого равенства достаточно совпадения ко эффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой части. Приравняем эти коэффициенты.

Коэффициент при x0: 2a2 = 4a0; a2 = 2a0 = 0. Коэффициент при xn, n = 1, 2, 3,... :

(n + 1)(n + 2)an + 2 = 2nan + 4an = 2(n +2)an Þ
Þ (n + 1)an + 2 = 2an Þ an+2	=	2an	.	(17.30)

		n +1

Òàê êàê a2 = 0, то из этой формулы определяем a4 = 0, a6 = 0,..., ò.å. a2n = 0; из этой же формулы, учитывая, что a1 = 1, имеем:

2a3

2a5

2×

2a7

2×

= 1, a

, a

,... Þ a

2! 7

3! 9

2n+1

Докажем этот факт методом математической индукции. При n = 1 формула верна; пусть она верна для некоторого n, т.е. a2n+1 = n1! . Тогда, учитывая (17.30), получаем, что

2a2n+1

= a

2(n+1)+1

2n+3

2n + 2

2(n +1)

( n +1)!

следовательно, формула верна и для n +1.

17. Функциональные ряды

Подставляя найденные коэффициенты в степенной ряд имеем:

∞	1	∞	1	∞	1		(17.23)
y = å		x2n+1 = xå		x2n = xå		(x2)n	=	xex2 .

n=0 n!		n=0 n!		n=0 n!

Эта функция и является решением исходной задачи Коши.

∞

y = åanxn ,

n=0

Определение 17.5.Уравнением Бесселя называется дифференциальное уравнение

x2y ² + xy ¢ + (x2 – v2)y = 0,

(17.31)

где v – некоторый параметр (не обязательно целый). Будем искать решение этого уравнения в виде

¥	¥
y = xr åak xk = åak xr+k ,		(17.32)
k =0	k =0

где r – некоторое число.

Степенной ряд åak xk имеет некоторый радиус сходимости R (ко-

k =0

торый будет найден ниже), поэтому в области (–R; R) этот ряд можно

дифференцировать почленно. Тогда в этой области можно поч ленно дифференцировать и ряд (17.32):

y ¢ =	æ	¥		r +k ö¢	æ	r	¥	k ö¢
y ¢ =	ç	åak x		÷	= ç x		åak x	÷ =
	è k =0			ø	è		k =0	ø
¥				¥			¥
= rxr -1 åak xk + xr åak kxk -1 = åak (r +k )xr +k -1 .
k =0			k =0				k =0

Аналогично y ² = åak (r + k )(r + k -1)xr +k -2. Подставляя выражения y ¢ и

k =0
y ² в уравнение (17.31), имеем:
¥								¥
x2 å ak (r + k )(r + k -1)xr +k -2 + xå ak (r + k )xr +k -1 +
k =0							k =0
		¥			¥
+	x2	a xr +k	n	2	å	a	k	xr +k	=	0	,
+		å k	-		å		k		=		,
		k =0			k =0

èëè

348

349

6. Ðÿäû

æ	¥	¥	¥	¥	ö	= 0 ,
xr ç	åak (r + k )(r + k -1)xk + åak (r + k )xk +åak xk +2 -åakn 2 xk ÷					= 0 ,
è k =0		k =0	k =0	k =0	ø

или, обозначая в третьей сумме k + 2 как новое k,

xr æ ¥ a (r k )(r k 1)

ç å k ( + + - + è k =0

Отсюда

å ak ((r + k )2 -n 2 )

k =0

¥	ö
(r + k) -n 2 ) xk + åak -2 xk ÷ = 0.
k =2	ø
¥
xk + å ak -2 xk = 0.	(17.33)

k =2

Последний степенной ряд на интервале (–R; R) тождественно равен 0 тогда, и только тогда, когда коэффициенты при всех степенях х в нем будут равны 0. Приравняем к 0 коэффициент при x 0 (k = 0): a0(r 2 – v 2) = 0. Предполагая, что a 0 ¹ 0, отсюда имеем r = ± v.

Рассмотрим случай r = v. В этом случае формула (17.33) приобретает вид

			¥	¥
			å ak ( 2n k + k 2 ) xk + å ak -2 xk = 0,
èëè			k =0	k =2
èëè
			¥	¥
			å ak k ( 2n + k ) xk + å ak -2 xk = 0 .		(17.34)
			k =0	k =2
Приравняем к 0 коэффициент при x1 (k = 1): a1(2v + 1) = 0, отсюда
æ	1 ö
ç ïðè v ¹ –		÷	находим, что a1	= 0. Теперь приравняем к 0 коэффициен-
ç ïðè v ¹ –		÷	находим, что a1	= 0. Теперь приравняем к 0 коэффициен-
è	2 ø

ты при всех остальных степенях х :

ak k (2v + k) + ak–2 = 0, k = 2, 3,...

(17.35)

При k нечетных и четных отсюда соответственно получаем:

ì 3(2v+ 3)a3 + a1 =0, ïí 5(2v+5)a5 + a3 = 0,

ïï 7(2v+ 7)a7 + a5 = 0,

î ..................................

ì 2(2v+ 2)a2 + a0 =0,
ï	4(2v+ 4)a + a =0,
í	6(2v+6)a	4	2	(17.36)

ïï		6 + a4 = 0.

î	....................		..............

Òàê êàê a1 = 0, то из первой системы, при v, не являющемся отрицательным, полуцелым, получаем: a 3 = 0, a 5 = 0, a 7 = 0, …, значит, при k = 0, 1, 2,...

17. Функциональные ряды

a2k+1 = 0;

(17.37)

для отрицательных, полуцелых v просто берем a2k+1 = 0.

Если во второй системе произвольно задать a0, òî a2, a4, a6,... îïðå-

+¥

деляются однозначно (при v ¹ –1, –2, –3,...). Пусть Г(a) = ò e-x xa -1dx –

гамма-функция. Положим, что					0
гамма-функция. Положим, что
	a0 =		1	.		(17.38)

			2vÃ(v+1)
			2vÃ(v+1)
Методом математической индукции докажем, что тогда
a	=(–1)k		1		.	(17.39)
a	=(–1)k	2v+ 2kk!Ã(v+ k+1)			.	(17.39)
2k		2v+ 2kk!Ã(v+ k+1)

Формула (17.39) верна при k = 0 (в этом случае она имеет вид (17.38)). Пусть (17.39) верна при некотором k, покажем, что тогда она будет верна и при k + 1. Иcпользуем (17.35) с заменой k – 2 на 2k:

(2k + 2) (2v + 2k + 2)a2k+2 + a2k = 0, и формулу приведения для гаммафункции Г(a + 1) = aГ(a). В результате получаем:

a2(k+1) = a2k+2=–	a2k	=–	(–1)k	=
	(2k+2)(2v+2k+2)		2v+2k k!Ã(v+ k+1)(2k+2)(2v+2k+2)

	(–1)k+1		(–1)k+1
= –		= –		,
	2v+ 2k+ 2 k!(k+1)(v+ k+1)Ã(v+ k+1)		2v+ 2(k+1) (k+1)!Ã(v+ k+ 2)

что и требовалось найти.

Подставляя (17.37) и (17.39) в ряд (17.32), получаем решение уравнения (17.31), которое обозначим Jv(x) (v ¹ –1, –2, –3,...):

∞

(x)=

xv+ n

xv+ 2k =

n=0

k= 0

(17.40)

∞

(–1)k xv+2k

(–1)k (x 2)v+ 2k

= å

k!Ã(v+ k+1) .

2v+2k k!Ã(v+ k+1)

k=0

350

351

6. Ðÿäû

Ряд в правой части формулы (17.40) абсолютно сходится для всех х, так как применение признака Даламбера к ряду из модулей с учетом формулы приведения дает

( –1)

k+1

v+ 2k + 2

v+ 2k

k!Ã(v+ k+1)

lim

= lim

=0 < 1.

2v+ 2k+ 2( k+1)!Ã(v+ k+ 2)( –1)k xv+ 2k

k ® ¥

22( k+1)(v+ k+1)

Определение 17.6. Функция Jv(x) называется функцией Бесселя, или бесселевой функцией первого рода с индексом v. Если v = n – целое, неотрицательное, то

¥	( –1)k(x 2)n+ 2k				¥	(–1)k(x 2)n+ 2k
Jn(x)= å					= å		,	(17.41)
Jn(x)= å	k!Ã(n+ k+1)				= å	k!(n+ k)!	,	(17.41)
k=0					k=0
в частности				∞ (–1)k (x 2)2k.
	J		(x)=	∞ (–1)k (x 2)2k.				(17.42)
		0		å	(k!)2			(17.42)
		0

k=0

Бесселевы функции первого рода, вообще говоря, являются н овыми функциями, не выражающимися через элементарные. Исключен ие составляютбесселевыфункциис полуцелыминдексом.Например,таккак

ö(13.3)æ

ö æ

(13.8) (2k+1) (2k –1)!!

(2k+1)!!

Ãç k+

= ç k+

÷Ãç

p =

p ,

ø è

2k+1

òî

+2k

k+1

(–1)

2) 2

(1–1)

(k–1)

J 1 (x)= å

= å

x 2

= å

k=0 2 k!(2k+1)!! px

k=0

k!Ãç k+

k=0 2 2 +2k k!(2k+1)!! p

(–1)k x2k+1

px å

(2k+1)!

pxsinx. Аналогично

J –

1 (x)=

px cosx.

k=0

Теперь найдем решение уравнения Бесселя в случае нецелого v. До сих пор мы рассматривали случай, когда r = v. Äëÿ r = – v, рассуждая аналогично, получим еще одно решение уравнения Бесселя:

17. Функциональные ряды

¥ (–1)k (x 2)–v+2k
J –v (x)= å k!Ã(–v+ k+1) , v¹1, 2, 3,...	(17.43)

k=0

Функции Jv(x) è J–v(x) линейно независимы (Если бы они были

линейно зависимы, то с1Jv(x) + ñ2J–v(x) = 0 для всех х при хотя бы одном коэффициенте ci , отличном от 0. Тогда, поделив последнее ра-

венство на этот ненулевой коэффициент получили бы, что J–v(x) =

= k Jv(x) èëè Jv(x) = k J–v(x), à ýòî ÿâíî íå òàê, èáî ðÿä äëÿ Jv(x) содержит х в степенях v; v + 2; v + 4;..., à ðÿä äëÿ J–v(x) содержит х в степе-

íÿõ –v; –v + 2; –v + 4;...) Значит, эти функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (17.31) и общее решение этого уравнения можно записать в виде

y = ñ1Jv(x) + ñ2J–v(x).

(17.44)

В случае целого v, подставить в (17.40) v = –n нельзя, так как гаммафункция не определена в нуле и в целых отрицательных точк ах. Но

lim Ã(a)=0, поэтому если положить, что	1	=0, n=0, 1, 2,..., òî ðÿä

	Ã(–n)
a ® –n	Ã(–n)

(17.40) имеет смысл и дает следующее равенство:

	J –n
¥	(–1)k(x 2)–n+ 2k
= å	k!(–n+ k)!
k= n

	¥	(–1)k (x 2)–n+ 2k
(x)= å							=
(x)= å			k!Ã(–n+ k+1)				=
k=n
k = l + n	¥			(–1)	n	l	n+ 2l ( 17.41)
=	å			(–1)		(–1) (x 2)		= (–1)n J		(x).
=						(l + n)!l!		= (–1)n J	n	(x).
l = k – n						(l + n)!l!			n
	k=n

Эта функция тоже удовлетворяет уравнению Бесселя, однако функции Jn(x) è J–n(x) уже будут линейно зависимыми и (17.44) не будет общим решением уравнения (17.31). В этом случае общее решение у казанного уравнения можно получить, введя так называемые бе сселевы функции второго рода, что здесь не рассматривается.

352

353

6.Ðÿäû

18.РЯДЫ ФУРЬЕ

18.1.Ортогональные и ортонормированные

системы функций

Определение 18.1. Функции f(x) и g(x) называются ортогональны-

ми на отрезке [a, b], если ò f (x)g(x)dx = 0.

Определение 18.2. Система функций f1(x), f2(x),... называется ор-

тогональной на отрезке [a, b], если ò fm(x) fn(x)dx = 0, m ¹ n , ò.å. âñå

функции системы ортогональны друг другу.

Определение 18.3. Система функций f1(x), f2(x),... называется ор-

тонормированной на отрезке [a, b], если

	b	ì0, m ¹ n;
	ò fm(x)fn(x)dx = dmn	ì0, m ¹ n;
	ò fm(x)fn(x)dx = dmn	= í
	a	î1, m = n.

Данные определения аналогичны определениям ортогональн ых и ортонормированных систем элементов евклидова пространс тва, в частности векторов двухили трехмерного пространства; роль скалярного произведения двух функций при этом выполняет интеграл от их произведения. Естественно, предполагается, что все такие инт егралы существуют.

Докажем, что система функций 1, cos x, cos 2x, cos 3x,..., sin x, sin 2x, sin 3x,... ортогональна на отрезке [-p, p] . Пусть m, n = 0,1,2,..., тогда

π	21	π	[cos(m + n)x + cos(m - n)x]dx =
ò cosmxcosnxdx =	21	ò	[cos(m + n)x + cos(m - n)x]dx =
−π		π

=	1	sin(m + n)x	π	+	1	sin(m - n)x	π	= 0, m ¹ n

	2(m + n)		−π		2(m - n)		− π

(òàê êàê sin pk = 0, k Î Z )
	òπ sinmx sinnxdx = 21 òπ [cos(m - n)x - cos(m + n)x]dx =
	−π			−π

18. Ряды Фурье

=	1	sin(m - n) x	π	-	1	sin(m + n)x	π	= 0,m ¹ n

			−π				−π
	2(m - n)				2(m + n)

(по той же причине);

ò sin mx cosnxdx = 21

[sin(m + n)x + sin(m - n)x]dx =

−π

= -

cos(m + n)x

cos(m - n)x

= 0,

m ¹ n

2(m + n)

−π

2(m - n)

−π

(так как функция cos x – четная);

åñëè æå m = n , òî

1 p

ò sinnx cosnxdx=

ò sin2nxd x=–

cos2nx

–p =

–p

(по той же причине);

функция 1 тоже входит в наши вычисления, так как 1 = cosmx m=0 . Теперь посмотрим, не является ли наша система функций орт онор-

мированной, т.е. рассмотрим случай, когда в первых двух инте гралах m = n:

òπ

cos2 mxdx = òπ

1+ cos2mx

dx =

1 x

−ππ +

sin2mx

p–p = p,

−π

− π

2× 2m 14243

m = 1,2,...;

m = 0:

ò 1dx = 2p;

−π

òπ sin2 mxdx = òπ 1- cos2mx dx =

1 x

−ππ -

sin2mx

p–p = p,

−π

2× 2m

14243

m = 1,2,...

Отсюда следует, что наша система ортонормированной не явл яется. Проверим теперь, что система

1	,	1	cosmx, m = 1,2,...,	1	sin mx, m = 1,2,...
2p		p		p

является ортонормированной на отрезке [-p, p] . Для этого рассмотрим следующие интегралы:

354

355

6. Ðÿäû

π æ	1 ö2			π
ò ç		÷	dx = 1,	ò

−π è	2p ø			−π

π æ	1
ò ç		sin
ò ç	p	sin
−π è	p

cosmx

dx =

ò cos

mxdx =

× p = 1;

−π

ö2

dx =

× p =1.

mx ÷

ò sin2 mxdx =

− π

18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной системе функций. Тригонометрический ряд Фурье для функций с периодом 2π

Пусть {ϕn(x)}∞n=1 – ортонормированная на отрезке [a, b] система функций. Установим возможно ли представить заданную функциюf (x)

в виде разложения по ортонормированной системе {jn(x)}, ò.å. â âèäå

∞

суммы ряда åcnjn(x) . Пусть такое представление возможно:

n=1	∞
	∞
	f (x) = åcnjn(x).	(18.1)

n=1

Умножимравенство(18.1)на jm(x) ипроинтегрируемотa доb. При этом предположим, что все приведенные ниже интегралы суще ствуют и ряд возможно интегрировать почленно. Имеем

b ∞ b

ò f (x)ϕm(x)dx = åcn òϕn(x)ϕm(x)dx.

an=1 a

Так как система функций {jn(x)} ортонормированная, то все интегралы в правой части этого равенства, в которых n ¹ m , будут равны 0; тот интеграл, в котором n = m , будет равен 1. Тогда из всей суммы в

правой части останется только одно слагаемое и cm = ò f (x)ϕm(x)dx. Çà-

меняя в этом равенстве m на n, получаем, что если функция f (x) представлена в виде разложения (18.1), то коэффициенты этого разл ожения обязательно ищутся по формулам

b
cn = ò f (x)ϕn(x)dx, n = 1, 2,...	(18.2)

18. Ряды Фурье

∞

Определение 18.4. Ряд åcnjn(x) с коэффициентами (18.2) назы-

n=1

вается рядом Фурье функции f (x). Числа cn называются коэффициентами Фурье этой функции.

Теперь обратимся к так называемому тригонометрическому ряду Фурье, т.е. ряду по ортонормированной на отрезке [−π, π] системе фун-

êöèé	1	,	1	cosmx, m = 1,2,...,	1	sin mx, m = 1,2,...

	2π		π		π

Функция f (x) будет предполагаться абсолютно интегрируемой на

отрезке [−π, π] , т.е. такой, что ò f (x) dx существует.

−π

Если обозначить в представлении (18.1) коэффициенты при коси -

нусах и синусах через c и ~ соответственно, то это представление при-

n cn

обретает вид:

∞

f (x) = c0

+ åçcn

cosnx + cn

sinnx

÷.

n=1

Положим, что

~ 1

= b

, n = 1,2,...

;

= a , cn

(18.3)

0 2π

Тогда последняя формула примет вид

∞

f (x)

cosnx

sin nx .

(18.4)

= 2 + å( n

)

n=1

Из (18.2) следует, что коэффициенты этого разложения можно определить по формулам

2c0

p −π

cnn

p −π

π		1	dx = 1	+ π
ò f (x)		1			ò f (x)dx;
ò f (x)					ò f (x)dx;
−π		2p	p	− π
	1				1	π
f (x)	1	cosnxdx =			1	ò f (x)cosnxdx,	n =1,2,...;
f (x)	p	cosnxdx =			p	ò f (x)cosnxdx,	n =1,2,...;
	p				p	− π
	1				1	π
f (x)	1	sinnxdx =			1	ò f (x)sinnxdx,	n = 1,2,... .
f (x)	p	sinnxdx =			p	ò f (x)sinnxdx,	n = 1,2,... .
	p				p	−π

356

357

6. Ðÿäû

Таким образом,

1 π

(18.5)

an =

ò f (x)cosnxdx, n = 0,1,2...; bn

ò f (x)sinnxdx, n =1,2,...

−π

(смысл обозначения первого коэффициента как

состоит в том, что

a0 находится по той же формуле, что и an, n = 1, 2,... ; интегралы суще-

ствуют, так как

f (x) cos nx

≤

f (x)

f (x) sin nx

≤

f (x)

, à f (x) íà îò-

резке [−π, π] абсолютно интегрируема).

Определение 18.5. Ряд в правой части формулы (18.4) с коэффициентами (18.5) (независимо от того, сходится ли он и чему равна е го сумма) называется тригонометрическим рядом Фурье функции f (x). Числа an è bn при этом называются коэффициентами Фурье этой функции.

Теперь обратимся к возможности разложения функции в ряд Ф урье. Отметим, что если представление (18.4) возможно, тоf (x)являетсяпериодической функцией с периодом 2p : f (x + 2p) = f (x), xО R (так как этот период имеют все функции cos nx и sin nx).

Для того чтобы сформулировать теоремy о достаточных услов иях возможности разложения функции в ряд Фурье, дадим сначала следующее определение.

Определение 18.6. Функция f (x) называется кусочно-монотонной

на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x1,x2,...,xn−1 на интервалы (a,x1),(x1,x2 ),...,(xn−1,b) так, что на каждом из этих интервалов функция будет монотонной, т.е. ли бо невозрастающей, либо неубывающей (рис. 85). Такая функция будет абсолютно интегрируемой на отрезке [a, b].


a	x1
a	x1	x2 ... xn–1	b
		Ðèñ. 85

Теперь сформулируем теорему.

Теорема 18.1 (признак Дирихле – достаточные условия разложения функции в ряд Фурье). Пусть y = f (x) – периодическая (с периодом 2p ), кусочно-монотонная на отрезке [−π, π] и имеющая на нем лишь конечное число точек разрыва (причем первого рода) фу нкция. Сопоставим с ней ряд Фурье (~ это знак сопоставления):

18. Ряды Фурье

∞

f (x) ~

+ å(an cosnx + bn sinnx),

n=1

ãäå an = 1

ò f (x)cosnxdx, n = 0, 1, 2,...; bn = π1 ò f (x)sin nxdx, n = 1, 2,...

−π

(как уже отмечено выше, эти интегралы существуют). Тогда наш ряд

Фурье сходится во всех точках, причем сумма этого ряда рав на

ì f

(x) – в точках непрерывности функции f ;

(x – 0) + f (x+ 0)

= í f

– в точках разрыва функции f .

Последний случай изображен на рис. 86.

Отметим, что выражение

f (x - 0) + f (x + 0)

дает и сумму ряда в точках непрерывности f, так

как в этих точках

f (x - 0) + f (x + 0)

f (x) + f (x)

Ðèñ. 86

= f (x).

Доказательство этой теоремы в силу его сложности и отсутствия достаточного для такого доказательства времени в курсе в ысшей математики технических вузов здесь не приводится.

Коэффициенты Фурье четных и нечетных функций

1. Пусть функция y = f (x) четная, тогда (функция sin nx нечетная) согласно выводам разд. 10.5,

			π
b	=	1		f (x)sinnxd x=0, n = 1, 2, 3,...,
b	=	p ò		f (x)sinnxd x=0, n = 1, 2, 3,...,
n		p ò		14243
			–π	нечетная

так как интеграл от нечетной функции в симметричных преде лах равен нулю;

				π			π
a		=	1		f (x )cosnxd x=	2		f (x)cosnxdx, n = 0, 1, 2, ...,
a	n	=	p ò		f (x )cosnxd x=	p ò		f (x)cosnxdx, n = 0, 1, 2, ...,
	n		p ò		14243	p ò
				–π	четная	0

по свойству интеграла от четной функции в симметричных пр еделах.

358

359

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.10.20233.65 Mб5А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
10.10.202351.34 Mб2Английский язык для университетов и институтов связи кожевникова.djvu
#
10.10.20236.39 Mб0БСМП.pdf
#
10.10.20231.85 Mб0ВычТех.pdf
#
10.10.20234.76 Mб2Детлаф Яворский 1973.djvu
#
10.10.202333.69 Mб0Детлаф Яворский 2002.djvu