657_Smolovik_G.N._Teorija_menedzhmenta_
.pdf
Алгоритм построения прогноза на основе аддитивной модели Шаг 1
Расчет значений сезонной компоненты
1. На основе исходных данных (см. табл. 4.7) построим точечную диаграмму
2.
Объем продаж
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
квартал
Рис. 4.15. Точечная диаграмма
Из рисунка видно, что объем продаж подвержен сезонным колебаниям. Для того, чтобы элиминировать влияние сезонной компоненты воспользуемся методом скользящей средней.
3. Расчет среднего значения объема продаж за 4 квартала (столбец 5)
Рис. 4.16. Расчет скользящего среднего
Введенные формулы необходимо растянуть на весь диапазон ячеек (D5:D14). Рассчитанные значения уже не содержат сезонной компоненты и соответствуют середине года, т.е. находится между 2 и 3 кварталом. Далее данные необходимо центрировать.
81
4. Расчет центрированной скользящей средней
Центрированная скользящая средняя (столбец 5) рассчитывается по формуле средней арифметической простой. Пример расчета представлен на рисунке:
Рис. 4.17. Расчет центрированной скользящей средней
Разность между фактическим значением объема продаж и центрированной скользящей средней и будет составлять величину сезонной компоненты и
ошибки.
Рис. 4.18. Расчет сезонной компоненты
Далее необходимо рассчитать средние значения сезонной компоненты.
Расчет проведем в следующей таблице:
82
Рис. 4.19. Логика расчета скорректированных значений сезонных компонент
Сумма сезонных компонент за четыре квартала должна быть равна нулю.
Если это условие не выполняется, то значения сезонных компонент необходимо скорректировать. Например, сумма сезонных компонент = - 0,2 Делим эту величину на 4 квартала (-0,2 / 4 = -0,05) и полученный результат прибавляем к каждой компоненте с противоположным знаком.
Рис. 4.20 . Расчет скорректированных значений сезонных компонент
На этом расчет сезонных компонент окончен. Переходим к шагу 2.
ШАГ 2 Десезонализация данных. Расчет тренда.
Десезонализация данных состоит в вычитании значений сезонной компоненты из фактических значений: Q – S = T + E
83
Рис. 4.21. Десезонализация данных
Формулу, введенную в ячейку Е30 необходимо растянуть на диапазон (E31:Е42). Полученные оценки можно использовать для построения тренда.
На основе данных десезонализированного ряда необходимо построить набор трендовых моделей (линейную, степенную, экспоненциальную, логарифмическую) и выбрать трендовую модель, обеспечивающую наибольшую точность аппроксимации (R2).
450,00 |
|
|
|
|
|
|
|
400,00 |
|
|
|
|
|
|
|
350,00 |
|
|
|
|
|
|
|
300,00 |
|
|
|
|
|
|
|
250,00 |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
200,00 |
|
|
|
|
|
|
|
150,00 |
|
|
|
|
|
|
|
100,00 |
|
|
|
|
|
|
|
50,00 |
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
|
|
номер квартала |
|
|
|
|
y = 18,85x + 104,4
R² = 0,996
Q
Десезонализированный объем продаж
F-S=T+E
Линейная (Десезонализированный объем продаж
F-S=T+E)
Рис. 4.22. Линейная трендовая модель
84
450,00 |
|
|
|
400,00 |
y = 124,88e0,0842x |
|
|
|
R² = 0,9787 |
|
|
|
|
|
|
350,00 |
|
|
|
300,00 |
|
|
|
250,00 |
|
|
|
Q |
|
|
|
200,00 |
|
|
|
150,00 |
|
|
|
100,00 |
|
|
|
50,00 |
|
|
|
0,00 |
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
|
номер квартала |
|
|
Фактический объем продаж Q
Десезонализированный объем продаж
Q - S = T + E
Экспоненциальная (Десезонализированный объем продаж
Q - S = T + E)
|
Рис. 4.23. Экспоненциальная трендовая модель |
||
450,00 |
|
|
|
400,00 |
|
|
|
350,00 |
y = 90,093ln(x) + 80,097 |
Фактический объем продаж Q |
|
R² = 0,8786 |
|
||
|
|
|
|
300,00 |
|
|
|
250,00 |
|
|
|
Q |
|
|
Десезонализированный |
200,00 |
|
|
объем продаж |
150,00 |
|
|
Q - S = T + E |
|
|
|
|
100,00 |
|
|
Логарифмическая |
50,00 |
|
|
(Десезонализированный |
|
|
объем продаж |
|
|
|
|
|
0,00 |
|
|
Q - S = T + E) |
|
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
|
номер квартала |
|
|
Рис. 4.24. Логарифмическая трендовая модель
85
450,00 |
|
|
|
400,00 |
|
|
|
350,00 |
y = 108,4x0,4215 |
|
|
|
R² = 0,9466 |
|
|
|
|
|
|
300,00 |
|
|
|
250,00 |
|
|
|
Q |
|
|
|
200,00 |
|
|
|
150,00 |
|
|
|
100,00 |
|
|
|
50,00 |
|
|
|
0,00 |
|
|
|
0 |
5 |
10 |
15 |
|
номер квартала |
|
|
Фактический объем продаж Q
Десезонализированный объем продаж
Q - S = T + E
Степенная (Десезонализированный объем продаж
Q - S = T + E)
Рис. 4.25. Степенная трендовая модель
Из рисунков 4.21-4.25 видно, что наибольшая точность аппроксимации достигается в линейной трендовой модели. Для определения трендовой составляющей в полученное уравнение вместо x необходимо подставить порядковый номер квартала.
Рис. 4.26. Определение трендовых значений
Построенная модель позволяет определить прогнозируемый объем продаж. Он равен сумме сезонной и трендовой составляющих.
86
Рис. 4.27. Определение прогнозируемых значений |
|
Шаг 3 |
|
Расчет ошибок. Оценка точности прогноза |
|
Аддитивная модель имеет вид: |
|
Q = T + S + E. |
(4.8) |
Значения сезонной и трендовой составляющих уже найдены. Вычитая эти значения из фактических объемов продаж, получим значения ошибок.
Q- T- S =E. |
(4.9) |
Рис. 4.28. Расчет ошибки
87
Для оценки точности прогноза рассчитывают следующие показатели:
1. Среднее абсолютное отклонение (MAD – mean absolute derivation)
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||||
M AD |
|
|
t |
|
|
|
|
|
yt yˆ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t 1 |
|
|
t 1 |
|
|
||||||||
n |
|
|
|
(4.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n , |
|||||||
где n – число уровней временного ряда, для которых определялось прогнозное значение, ̂ - прогнозное значение показателя,
- фактическое значение.
Использование этой характеристики полезно в тех случаях, когда исследователю требуется получить оценку точности в тех же единицах, в которых измерены уровни исходного временного ряда.
Среднее абсолютное отклонение показывает, на какое количество единиц измерения (кол-во пользователей, тыс.руб. и т.д.) в среднем отклоняется в большую или меньшую сторону наш прогноз. Позволяет определить ошибку в конкретных единицах измерения.
2. Средняя ошибка аппроксимации (MAPE – mean absolute percentage error)
M APE |
1 |
yt |
yˆ t |
100% |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n t 1 |
|
yt |
. |
(4.11) |
|
|
|
|
|
|
||
Значение MAPE характеризует величину, на которую теоретические уровни, рассчитанные по модели, в среднем отклоняются от фактических. Для получения вывода о точности прогноза может быть использована следующая шкала
(см.табл.4.8).
Табл. 4.8. Оценка точности прогноза по критерию MAPE
Значение средней абс. ошиб- |
Точность прогнозной модели |
|
ки в процентах (MAPE) |
||
|
||
Менее 10% |
Очень высокая |
|
10-20% |
Высокая |
|
20-50% |
Удовлетворительная |
|
Более 50% |
Неудовлетворительная |
3.Средняя процентная ошибка (MPE – mean percentage error) используется для оценки смещения прогноза, т.е. получения информации о том, является ли прогноз переоценивающим или недооценивающим.
M PE |
1 yt |
yˆ t 100% |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n t 1 |
yt |
, |
(4.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
88 |
|
|
|
|
|
|
|
если MPE< 0, прогноз переоценивающий (характерно систематическое завышение прогнозируемого показателя по сравнению с фактическими значениями) MPE> 0, прогноз недооценивающий (характерно занижение показателя).
Кроме того, при выборе лучшего метода прогнозирования часто используют среднеквадратическую ошибку (MSE - mean squarederrors).
4. Среднеквадратическая ошибка (MSE – mean squared errors)
|
n |
|
2 |
|
|
Yt |
|
||
|
Yt |
|||
|
|
ˆ |
|
|
M SE |
t 1 |
|
|
|
|
n |
(4.13) |
||
|
|
|||
Для оценки точности модели рекомендуется создать следующую расчетную таблицу:
Рис. 4.28. Оценка точности прогноза
Для определения абсолютного значения показателя (модуля) рекомендуется использовать встроенную функцию MS Excel ABS(…). Формулы необходимо растянуть на весь диапазон ячеек, определить сумму по каждому столбцу и затем итоговое значение показателей точности.
Для расчета среднеквадратической ошибки рекомендуется воспользоваться формулой:
=КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C47:C59;F47:F59)/13)
89
Рис. 4.29. Результат оценки точности прогноза
По результатам выполненных расчетов на основе аддитивной модели можно сделать следующие выводы:
в среднем прогнозируемый объем продаж отклоняется от фактического в большую или в меньшую сторону на 3,5 тыс.руб.;
средняя ошибка аппроксимации(MAPE) составляет 2,02%, что говорит о высокой точности аддитивной модели,
средняя процентная ошибка (MPE) близка к нулю (составляет 0,013%), что означает незначительное занижение показателя. В целом прогноз близок к несмещенному. Прогнозируемый объем продаж на следующий (14-ый) квартал составит 362,62 т.р.
Рассмотрим алгоритм построения прогноза на основе модели с мультипликативной компонентой
1.3.5. Модель с мультипликативной компонентой
Применение мультипликативных моделей обусловлено тем, что в некоторых временных рядах значение сезонной компоненты представляет собой определенную долю трендового значения. Мультипликативная модель в общем виде может быть представлена в виде формулы:
F = T * S * E, |
(4.14) |
T – трендовая составляющая,
S – сезонная составляющая,
E – случайная составляющая (ошибка прогноза)
90