515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

Пример. Пусть m = 3, = 0,51.

Представим полюсы на комплексной плоскости (рис. 17.17). Проведем кривую через полюсы, получим – эллипс, большая полуось которого равна

b ch Arsh 1 1,115, m

а малая полуось равна

a sh Arsh 1 0,4942. m

Рис. 17.17

3. Выбираем полюсы, лежащие в левой полуплоскости и записываем нормированную передаточную функцию Н( р) фильтра ( принимаем Н0=1)

где 2 m 1 – коэффициент при старшем члене функции Чебышева, имеющим степень m.

4. Зная передаточную функцию Н( р), определяем комплексную передаточную функцию Н(j ): H j H p p j .

Расчет фильтра нижних частот (ФНЧ) с характеристикой Чебышева

Постановка задачи: задана полоса пропускания (0, п), полоса непропускания ( з, ), заданы ослабление Aрmax в полосе пропускания и ослабление Aрmin в полосе непропускания.

241

Порядок расчета

1. Нормируем текущую частоту относительно частоты пропускания п и определяем нормированные частоты полос пропускания (0, 1) и непропускания ( з, )

6. Выбираем полюсы, лежащие в левой полуплоскости комплексной плоскости и определяем нормированную передаточную функцию фильтра Н(р) (полагая Н0=1)

7. Зная функцию Н(р), определяем комплексную передаточную функцию Н(j ) фильтра H j H p p j .

242

Замечание. Другие виды фильтров рассчитываются на основе ФНЧпрототипа, применяя метод преобразования частот и учитывая, что требования к фильтру сохраняются.

Второй этап синтеза фильтров. Реализация фильтра по найденной операторной функции Н( р)

Существует много методов реализации электрических цепей по передаточным функциям. При реализации передаточной функции Н( р) используются, в большинстве случаев, следующие методы:

1)метод Дарлингтона;

2)метод реализации активными RC-цепями (ARC-цепями).

Реализация фильтра по методу Дарлингтона

Метод позволяет реализовать функцию Н(р) ( например, ФНЧ) реактивным LC лестничым нагруженным четырехполюсником и основан на разложении в цепную дробь операторного входного сопротивления Zвх p четырехполюсника, которое определяется по найденной функции Н(р) фильтра и которое является положительной вещественной функций (ПВФ).

Постановка задачи: известна передаточная функцию Н(р) фильтра, необходимо реализовать передаточную функцию LC лестничым нагруженным четырехполюсником, который показан на рис. 17.18 а.

Рис. 17.18

Порядок реализации Замечание: если четырехполюсник включен между генератором с рези-

стивным сопротивлением RГ и нагрузкой с резистивным сопротивлением RН , то квадрат модуля комплексной передаточной функции нагруженного четырехполюсника равен обратной величине квадрата модуля рабочей передаточной функции.

1. Зная рабочую передаточную функцию Н(р) фильтра, находим входное

сопротивление Zвх j :

а) определим квадрат модуля передаточной функции четырехполюсника. Поскольку H j 2 1 Hp j 2 ,тогда

243

244

4. Из последнего выражения определяем входную функцию Zвх р реа-

Замечание 1. Если для выбранных, например, верхних знаков входная функция Zвх р будет неправильной дробью, тогда Zвх р при р , то при реализации по первой форме (схеме) Кауэра необходимо разлагать в цепную дробь функцию Zвх р . Для выбранных нижних знаков входная функцию Zвх р будет правильной дробью и Zвх р 0 при р , то при реализации по первой форме (схеме) Кауэра необходимо разлагать в цепную дробь

функцию Yвх р 1/Zвх р .

Замечание 2. По входной функции Zвх р можно определить и вторую форму Кауэра, если необходимо реализовать фильтр верхних частот.

5. Разлагая Zвх р в цепную дробь, определяем первую форму Кауэра (реализуем фильтр нижних частот), определяем элементы схемы и конфигурацию фильтра.

Реализация передаточной функции Н( р) фильтра ARC-цепями

При реализации передаточной функциии Н( р) фильтра рассмотрим только каскадное соединение активных RC (ARC) цепей, используя метод уравнивания коэффициентов. При каскадной реализации передаточная функцию Н( р) фильтра представляется в виде произведения передаточных функций n звеньев (ARC-цепей) 1-го и 2-го порядков

H p H1 p Hn p .

Замечание. Если передаточная функция Н( р) имеет нечетную степень, то в Н( р) обязательно имеется функция передачи первого порядка, которая реализуется цепями рис. 17.19 а или б.

Известно два вида передаточной функции звеньев 1-го порядка и четыре вида 2-го порядка.

1. H1 p b0 – передаточная функция ФНЧ реализуется RC-звеном 1-го по- p

рядка (рис. 17.19 а).

245

Замечание 3. Передаточные функции n-го порядка всех типов фильтров в общем случае можно представить как произведение передаточных функций следующих видов: 1 и 3 для ФНЧ; 2, 5 и 6 для ФВЧ; функций вида 6 для РФ и произведение всех видов (1, 2, 3, 4, 5, 6) для ПФ.

Добротности полюсов и частоты полюсов

Пусть передаточня функция Н(р) фильтра имеет вид

H p 1/ p2 p .

Полюсы функции определяются из уравнения

Добротность и частота полюсов определяются следующим образом

В соответствии с понятиями добротности и частоты полюса передаточная функция ФНЧ 2-го порядка может быть представлена в виде

Нормирование элементов схемы и частоты

При расчете электрических цепей часто возникают большие разбросы значений элементов, поэтому элементы цепей нормируют.

Например, для последовательного контура выбирают нормированное сопротивление Rн равным (Rн ), нормированную частоту н равной р ( н р ), тогда

1. Нормированное комплексное сопротивление

247

5. Нормированное резистивное сопротивление

При расчете фильтров принято нормировать частоту, например, для ФНЧ н ( п – для ФНЧ), емкость и индуктивность C нC Rн,

L нLRн .

248

Лекция 32 Синтез фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ)

и режекторного фильтра (РФ)

Синтез указанных фильтров можно производить, используя те же методы, что и при синтезе ФНЧ. Однако для облегчения решения задачи синтеза ФВЧ, ПФ, РФ были разработаны методы синтеза на основе фильтра нижних частот. В теории доказано: если в реактивном ФНЧ заменить по определенным правилам все элементы на другие реактивные элементы, то можно получить другие типы фильтров, поэтому ФНЧ называется низкочастотным прототипом (ФНЧпрототип). Эти правила реализуются соответствующими преобразующими функциями, которые позволяют требования на ФВЧ, ПФ, РФ преобразовать в требования ФНЧ, а после расчета и реализации (синтеза) ФНЧ преобразовать передаточную функцию и элементы ФНЧ в передаточную функцию и элементы других типов фильтров.

Общий порядок синтеза фильтра верхних частот, полосового и режекторного фильтров

1.Требования на ФВЧ, ПФ, РФ переводятся преобразующими функциями

втребования на ФНЧ, при этом требования на ослабления в полосе пропускания и в полосе непропускания остаются неизменными.

2.По данным требованиям определяется коэффициент неравномерности и порядок фильтра ФНЧ, определяются полюсы, и определяется передаточная функция ФНЧ.

3.По передаточной функции определяется схема ФНЧ.

4.Передаточная функция ФНЧ преобразующими функциями преобразуется в передаточную функцию требуемого фильтра (ФВЧ, ПФ или РФ).

5.Реактивные элементы ФНЧ преобразующими функциями преобразуются

вреактивные элементы требуемого фильтра: ФВЧ, ПФ или РФ.

Замечание. Если необходимо реализовать передаточную функцию требуемого фильтра (ФВЧ, ПФ или РФ) ARC-цепями, тогда используются ARCзвенья и производится синтез требуемого фильтра ARC-цепями.

Преобразование LC-фильтра нижних частот в фильтр верхних частот

Преобразование осуществляется преобразующей функцией для частот вида

j нч 02 j вч или нч 02 вч , (17.65)

а) частота нч преобразуется в частоту вч 0; б) частота нч знч преобразуется в частоту звч ; в) частота нч снч преобразуется в частоту свч ; г) частота нч 0 преобразуется в частоту вч .

249

Замечание 1. Преобразующая функция для комплексной переменной р имеет вид