515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

tи2

III. t tи.

Рис. 7.9

Пример 4. Задан сигнал u1(t) на входе электрической цепи (рис. 7.10). Найти закон изменения напряжения на выходе цепи методом интеграла свертки.

R = 20 Ом, L = 50 мГн, tи = 20 мс.

Рис. 7.10

112

Решение 1. Найдем импульсную характеристику цепи.

Переходная характеристика цепи по напряжению gu t guпр gu 0 guпр ept ,

gu 0 0, guпр 1,

3. Запишем интеграл свертки для определения u2(t). Для первого участка (0 t < tи):

u21 t u11 hu t d 6 400e 400 t d 6 1 e 400t В. 0 0

Для второго участка (t tи):

Рис. 7.11

113

ТЕМА 8. Частотный (спектральный) метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях

Лекция 14 Ряды Фурье. Теорема Парсеваля. Преобразование Фурье.

Спектральный метод анализа цепей

Различают:

1.Частотный метод анализа при периодическом негармоническом воздействии, например, воздействие в виде последовательности прямоугольных импульсов или треугольных импульсов (рис. 8.1).

В этом случае входная последовательность (сигнал) представляется в виде ряда Фурье.

2.Частотный метод анализа при непериодическом негармоническом воздействии, например, воздействии в виде одиночного прямоугольного (рис. 8.2 а) или треугольного (рис. 8.2 б) импульсов. В этом случае входной сигнал представляется в виде интеграла Фурье.

Ряды Фурье. Краткие сведения

Если функция f t удовлетворяет условиям Дирихле:

1)имеет на периоде конечное число разрывов первого рода;

2)имеет конечное число максимумов и минимумов,

то она может быть разложена в ряд Фурье.

Различают тригонометрическую и комплексную формы ряда Фурье

1 2 T .

114

где A k 1 , k 1 – соответственно спектры амплитуд и фаз.

Ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов

Пусть имеется последовательность прямоугольных импульсов (рис. 8.3).

Рис. 8.3

Цель анализа: представить данную последовательность в виде ряда Фурье.

Порядок анализа

1. Определяем комплексные k-ые амплитуды напряжений

115

Видно, что амплитудный и фазовый спектры – дискретные спектры. Таким образом, последовательность прямоугольных импульсов имеет амплитудный и фазовый дискретные спектры.

4.Построим амплитудный и фазовый спектры для различных значений скважности q (q Ttи ):

Рис. 8.4

Амплитудный и фазовый спектры для случая а) приведены на рис. 8.5 а, для случая б) – на рис. 8.5 б, для случая в) – на рис. 8.5 в.

Рис. 8.5

Выводы

1.Огибающая амплитудного спектра изменяется по закону функции sinxx.

2.Огибающая имеет нули (амплитудный спектр равен нулю) на частотах

2 ktи ( k = 1, 2, 3, …).

116

3.Спектр дискретный. Расстояние по частоте между гармоническими составляющими равно 1 2 T .

4.Количество составляющих между нулями равно q 1 (n q 1), где q – скважность, равная q = T/tи.

5.При T const и увеличении (уменьшении) tи расстояние между гармоническими составляющими остается постоянным, а расстояние между нулями огибающей уменьшается (увеличивается).

6.При tи const и увеличении (уменьшении) периода T расстояние между нулями огибающей остается постоянным, а расстояние между составляющими уменьшается (увеличивается).

Действующее и среднее значения напряжения и тока периодического негармонического сигнала. Равенство (теорема) Парсеваля

1. Действующие значения тока и напряжения

Активная, реактивная и полная мощности периодического негармонического сигнала (при периодическом негармоническом воздействии на цепь)

1. Активная мощность

117

Замечание. Для негармонического сигнала S2 P2 Q2 .

4. Мощность искажения Pиск S2 P2 Q2 .

Коэффициенты, характеризующие периодическую негармоническую функцию(сигнал)

kг 0).

Частотный метод анализа процессов в линейных электрических цепях при непериодическом негармоническом воздействии. Прямое и обратное преобразования Фурье. Свойства и теоремы преобразования Фурье

Если функция f t удовлетворяет: а) условию абсолютной интегрируемости

Преобразования Фурье

Прямое преобразование Фурье (ППФ) позволяет определить комплекс-

ный спектр сигнала (комплексную спектральную плотность или спектр) по формуле

118

4.Свойство взаимозаменяемости переменной и t. Для четного сигнала и вещественного спектра

5.Сигнал f t может быть задан с помощью своего амплитудного и фазового

спектров ( F( j ) и F ), либо с помощью вещественной и мнимой частей спектра ( A и B ). Причем существует однозначная связь между модулем и фазой, между мнимой и действительной частями спектра. Эту связь можно показать на одностороннем сигнале

119

8. Дифференцирование и интегрирование сигнала

120