515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Хорды – ветви дополнения.

Сечение графа – минимальное множество ветвей, удаление которых разделяет граф на две несвязанные части. Добавление любой ветви делает граф связным.

Главное сечение графа – сечение дерева, рассекающее только одну ветвь дерева. Каждому дереву соответствует своя совокупность главных сечений графа. Число главных сечений равно числу ветвей дерева.

Граф схемы (рис. 1.12 б) можно описать структурной матрицей А

где «+1» – ветвь выходит из узла, «–1» – ветвь входит в узел; матрицей С главных сечений S

где «+1» – ветвь входит в сечение, «–1» – ветвь выходит из сечения; матрицей контуров B

11

где «+1» – направление ветви совпадает с направлением контура, «–1» – направление ветви не совпадает с направлением контура.

12

Лекция 2 Основные законы, теоремы и принципы ТЭЦ

Закон Ома

а. Для участка пассивной цепи (рис. 1.14 а)

где Uаb Va Vb , Vа и Vb – потенциалы узлов a и b; n – число последовательно соединенных резистивных сопротивлений.

б. Для участка цепи с источниками ЭДС (рис. 1.14 б)

m

где m – число последовательно соединенных источников; Ej – алгебраиче-

j 1

ская сумма.

В алгебраической сумме ЭДС берется со знаком «+», если направление источника Е совпадает с направлением тока и «–» в противоположном случае.

Рис. 1.14

Законы Кирхгофа

1-й закон – закон токов Кирхгофа (ЗТК): алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом j-м узле равна нулю

k 1

где m – число ветвей, входящих в узел j.

2-й закон – закон напряжений Кирхгофа (ЗНК): алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом j-ом контуре равна нулю

k 1

где n – число ветвей, входящих в контур j.

Замечание 1. Принято считать, что ток, входящий в узел, имеет отрицательный знак, а ток, выходящий из узла, имеет положительный знак. Количество уравнений ЗТК (nу – 1), где nу – количество узлов. Количество уравнений ЗНК (nв – nу + 1), где nв – количество ветвей в контуре.

13

Замечание 2. Напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, берутся со знаком «+», а не совпадающие берутся со знаком «–».

Замечание 3. Закон Ома справедлив только для линейных цепей. Законы Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей.

Принцип наложения (суперпозиции): реакция линейной электрической цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности (принцип несправедлив для нелинейных цепей).

Ток в любой j-ой ветви от n воздействий (источников) равен сумме токов от каждого k-го воздействия

k 1

Напряжение j-ой ветви от всех n воздействий равно сумме напряжений от каждого k-го воздействия

k 1

Теорема замещения: значение всех токов и напряжений в цепи не изменится, если любую ветвь цепи заменить источником напряжения с задающим напряжением uг u или источником тока с задающим током iг i.

Принцип дуальности: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи.

В силу принципа дуальности: R G,u i,C L,uг iг ,ЗТК ЗНК, последовательное соединение элементов параллельное соединение дуальных элементов.

Теоремы об активном двухполюснике

Теорема об эквивалентном источнике напряжения (теорема Тевенина):

ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения, с задающим напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.

Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона): ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменяется, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению со стороны разомкнутой ветви.

Теорема Телледжена: алгебраическая сумма произведений напряжений

14

Баланс мощности – алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи

В сумме мощность источника напряжения берется со знаком «+», если направления задающего напряжения uk и тока ik противоположны, со знаком «–», если совпадают. Для источника тока берется знак «+», если направления задающего тока ik и напряжения uk на зажимах источника тока противоположны, знак «–», если совпадают.

Баланс мощности выражает закон сохранения энергии в электрической цепи и позволяет проверить правильность произведенных расчетов.

Принцип взаимности (теорема обратимости): если источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвь l пассивной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви k ток Ik, то этот же источник, помещенный в ветвь k, вызовет в ветви l ток Il, значение которого равно току Ik.

Принцип эквивалентности: напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованиями, остаются неизменными.

Преобразования электрических схем

а. Последовательное соединение элементов:

Ek, совпадающие с направлением тока в ветви берутся со знаком «+», не совпадающие – со знаком «–».

Рис. 1.15

15

б. Параллельное соединение элементов:

– резистивных элементов (рис. 1.16 а)

Рис. 1.16

Преобразование соединения типа «треугольник» в соединение типа «звезда» и наоборот (рис. 1.17)

Рис. 1.17

Преобразование «треугольника» в «звезду»

16

Преобразование «звезды» в «треугольник»

Преобразование реального источника напряжения в реальный источ-

ник тока (эквивалентные источники тока и напряжения (рис. 1.18)

iг Eг Rг , Ег iг Rг .

Эти соотношения можно получить, если воспользоваться принципом эквивалентности.

Рис. 1.18

Примеры и задачи

Пример 1. Задан участок цепи с источниками тока и напряжения (рис. 1.19). Найти ток в цепи.

Vа = 5 В, Vb = 5 В, Е1 = 2 В, Е2 = 4 В, J = 10 мА, R1 = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R3 = = 3 кОм, R4 = 4 кОм.

Рис. 1.19

Решение

1. Записываем уравнение ЗНК

Uab Va Vb I R1 Uг1 I R2 Uг2 I R3 I4 R4 .

2. Определяем ток I4 через токи I и J, используя ЗТК: I = I4 + J I4 = I – J и подставляем его значение в верхнее выражение, получаем

Uab I R1 R2 R3 R4 Uг1 Uг2 J R4 . 3. Определяем ток I

17

Пример 2. Задан реальный источник напряжения. Требуется преобразовать источник напряжения (рис. 1.20 а) в реальный источник тока (рис. 1.20 б).

В схемах IHU, IHJ, UHU, UHJ – соответственно токи и напряжения на выходе источников.

Решение

1. Определяем выходной ток IHU и выходное напряжение UHU источника напряжения

2. Определяем выходной ток IHJ и выходное напряжение UHJ источника

тока

3. Используя принцип эквивалентности, приравняем выходные токи и выходные напряжения

При Rн = 0 из уравнения 1) следует EгRгU J .

При Rн = из уравнения 2) следует Eг J RгJ .

Из последних равенств следует RгJ RгU .

Пример 3. Задана электрическая цепь (рис. 1.21). Найти эквивалентное сопротивление относительно зажимов a-б.

Рис. 1.21

18

R1 = 2 кОм, R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = 1 кОм.

Решение 1. Преобразуем, например, верхний «треугольник» 1-2-3 в соединение типа

«звезда», используя принцип эквивалентности (рис.1.22).

2. Представим электрическую цепь (рис. 1.23).

Рис. 1.23

3. Определяем сопротивления ветвей R2 6 , R3 5

4. Определяем сопротивление при параллельном соединении ветвей R2 6 || R3 5 (относительно узлов 0-4)

5. Определяем эквивалентное сопротивление электрической цепи относительно зажимов а-б

Rэкв а б R1 R1 R04 2 1 2=3 кОм. 3 3

19

Пример 4. Задана электрическая цепь (рис. 1.24). Требуется определить показания вольтметра.

Е1 = 10 В, Е2 = 20 В, R1 = R2 = 10 Ом.

Рис. 1.24

Решение Обозначим места подключения вольтметра как узлы 1 и 2. Зададим

направление тока по направлению большего из источников. Считаем, что сопротивление идеального вольтметра бесконечно велико, следовательно, ток через него равен нулю. Тогда по закону Ома:

I E2 E1 20 10 0,5 А.

Запишем закон Ома для участка цепи

I V1 V2 E2 .

R2

Вольтметр показывает модуль напряжения

UV V1 V2 I R2 E2 0,5 10 20 15 15 В.

20