Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
12.11.2022
Размер:
3 Mб
Скачать
☆

2.Степень полинома числителя квадрата модуля АЧХ не превышает степени полинома знаменателя (n m).

3. Полиномы числителя и знаменателя функции H j 2 не отрицательны на вещественной полуоси.

Свойства квадрата модуля КПФ H j 2

1.H j 2 является отношением четных полиномов.

2.Нули и полюсы имеют квадратную симметрию в P плоскости

H j 2 H j H j ,

или, заменяя j на р, имеем

 

H p

 

2 H p H p ).

H j

 

2 имеют

 

 

 

3. В общем случае полиномы числителя и знаменателя

 

три типа сомножителей

 

 

 

 

 

 

 

1.

p4 ap2 a0

 

 

 

 

(17.1)

2.

p2 a a 0

 

 

 

 

3.

p2 a a 0 .

 

 

 

 

 

 

 

1-й и 2-й типы имеют квадратную симметрию, а 3-й тип будет иметь квадратную симметрию, если он будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 a 2

,

p2 a 4

 

и т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.2)

 

 

Исходя из свойств

и

условий

 

 

физической

реализуемости

функции

 

H j

 

2, можно заметить,

что функция

 

 

 

H j

 

2

 

будет квадратом АЧХ

 

 

 

 

 

фильтра,

 

если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) функция

 

 

 

H j

 

 

 

2 есть отношение четных полиномов;

 

 

 

 

 

 

 

 

2) любые полюсы или нули на оси j функции

 

H p

 

2 имеют

четный

 

 

 

 

 

 

порядок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из сказанного можно сделать 2 замечания.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 1. Если известна операторная передаточная функция фильтра

 

H p , то заменой р j можно найти функцию

 

H

j

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 2. Если известен (или найден в

 

результате

 

решения задачи ап-

проксимации) квадрат модуля КПФ

 

H j

 

2, то определить операторную пе-

 

 

редаточную функцию H

p

можно,

следуя

 

следующему алгоритму:

 

1)

в выражении

 

H j

 

 

2 заменяем –jp, получаем

 

H p

 

2;

 

 

 

 

 

 

2)

определяем нули и полюсы функции

 

H p

 

2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)представляем квадрат модуля H p 2 в виде произведения передаточных функций H p 2 H p H p ;

4)все полюсы функции H p 2 в левой полуплоскости комплексной плоско-

сти Р относим к H p , а все полюсы в правой полуплоскости относим к

Hp ;

5)распределение нулей функции H p 2 произведем следующим образом:

а) если на ФЧХ фильтра никаких ограничений не накладывается, то обычно для H p выбирают нули, лежащие в левой полуплоскости,

б) если на ФЧХ фильтра накладываются требования, то к выбору нулей предъявляются определенные требования;

6)постоянный множитель Н0 функции H p можно найти, представив функцию H p в виде

231

N

M

 

H p Н0 p p0i / p p j ,

(17.3)

i 1

j 1

 

где p0i и pj – соответственно нули и полюса функции H p .

232

Лекция 30 Решение задачи аппроксимации квадрата АЧХ фильтра

(поиск функции H j 2)

В сущности, решение задачи аппроксимации квадрата АЧХ фильтра сводится к определению вида функции H j 2 из класса дробно-рациональных функций общего вида

H j

 

2

 

P2

P2

 

 

 

 

 

1

2

 

(17.4)

 

 

Q2

Q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

по заданным требованиям на АЧХ фильтра.

Решение этой задачи зависит от критерия приближения аппроксимирующей функции H j 2 к аппроксимируемой функции, то есть к заданному квадрату АЧХ фильтра.

Мы рассмотрим лишь только решение задачи аппроксимации по прибли-

жению по Тейлору и по критерию приближения Чебышева.

 

 

Замечание 1.

При аппроксимации

по Тейлору определяем

функцию

 

H j

 

, которая

максимально плоско

(гладко) аппроксимирует

заданную

 

 

АЧХ. Фильтры при этом называются полиномиальными фильтрами с харак-

теристикой Баттерворта.

При аппроксимации по критерию Чебышева получаем функцию H j , которая аппроксимирует заданную АЧХ фильтра равноволновой характеристикой в полосе пропускания и максимально-плоской характеристикой в полосе непропускания. Фильтры при этом называются полиномиальными фильтрами

с характеристикой Чебышева.

Решение задачи аппроксимации квадрата АЧХ фильтра по приближению Тейлора

Постановка задачи: пусть задан квадрат АЧХ фильтра Hз j 2 (на примере фильтра нижних частот (рис. 17.13)). Требуется найти из класса четных дробно-рациональных функций вида

H j

 

2

 

P12 P22

2

1 c1 2 c2 4 cn 1 2n 2 cn 2n

 

 

 

 

 

 

 

H0

 

 

 

 

(17.5)

 

 

Q12 Q22

1 d1 2

d2 4

dm 1 2m 2

dm 2m

 

 

 

 

 

 

такую, которая бы с заданной точностью (наилучшим образом в смысле при-

ближения по Тейлору) описывала бы заданный квадрат АЧХ (т.е. заданную функцию Hз j 2).

Рис. 17.13

233

Hз j

 

2

 

 

2

, при 0 п

(17.6)

 

 

 

 

H

03

 

 

 

 

0,

 

при п .

 

 

 

 

 

 

 

Порядок решения задачи аппроксимации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H j

 

2

 

Замечание. Поскольку четная дробно-рациональная функция

 

 

 

 

непрерывна, то она не может описать скачок функции

 

 

 

 

Hз

j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на частоте

п, но она может, как угодно близко аппроксимировать его.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Накладываем на функцию

 

H

j

 

2 условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

H j

2 H02 на частоте

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

H j

2 0

на частоте = , получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

j

 

 

2 H02

 

 

 

 

1 c1 2 c2 4 cm 1 2m 2

 

 

 

 

.

 

 

(17.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 d1 2 d2 4 dm 1 2m 2 dm 2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Разделим полином числителя

 

функции

 

 

 

H

j

 

 

 

2 на полином знамена-

 

 

 

 

 

теля и представим функцию

 

 

H

j

 

2

 

 

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H j

 

2 H 2 1 c d

1

2

c

2

d

2

c2 d c

4 .

(17.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Запишем формально ряд Тейлора некоторой функции относительно ча-

стоты 0 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

0

 

F

0

 

 

 

 

F

0

 

 

 

 

 

 

 

F

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F F 0

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

n.

(17.9)

 

 

 

1!

 

 

 

2!

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Сравним ряд Тейлора F

 

и функцию

 

 

H

j

 

 

 

2. Из сравнения видно,

 

 

 

 

что квадрат АЧХ

есть ряд Тейлора,

у которого в силу четности функции

 

H j

 

2 все производные нечетного порядка равны нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Из требования, что квадрат АЧХ является максимально плоской функцией в полосе пропускания и максимально плоской (гладкой) в полосе непропускания, следует, что как можно больше производных должны быть равны нулю на частотах = 0 и = .

В теории доказано, что

 

максимальное количество

производных равно

(2m – 1). Из требования равенства нулю (2m – 1) производных следует

c1 d1 0 c1 d1

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

d

2

c2

d c 0

 

c

2

d

2

 

(17.10)

 

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cm 1 dm 1.

 

6. Чтобы обеспечить

 

 

спад

характеристики

 

в области верхних частот

( п), необходимо располагать нули функции

 

H j

 

2 в бесконечности, а

 

 

это значит, что коэффициенты числителя c1, c2, c

3, должны быть равны ну-

лю, при этом функция

 

 

H

 

j

 

2 принимает вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

 

j

 

 

 

2 H02

1

 

 

 

.

 

(17.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим dm 2 , получим

 

 

 

 

 

1 dm 2m

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H j

 

 

 

2 H02

 

 

.

 

(17.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

234

Фильтр с такой функцией называется полиномиальным фильтром с ха-

рактеристикой Баттерворта.

7.Значение выбирается из требования к АЧХ в полосе пропускания фильтра.

Величина регулирует скорость убывания амплитуды частотной характеристики. Ее называют коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания.

8.Поскольку расчет фильтра производят, как правило, для нормированных частот (а потом переходят от нормированных частот к заданным), то предста-

вим квадрат АЧХ для нормированной частоты

 

/ П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

j

 

2 H02

 

 

 

 

1

 

 

H02

 

 

1

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2m

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 2 – функция фильтрации. В общем случае функция

 

удовле-

творяет следующим условиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

1 1, при 0

п

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

1,

при з,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

1;

 

з

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Определяем ослабление Ар фильтра (при этом полагаем, что H0 1)

 

 

 

 

 

A ln

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln 1 2 2 , Нп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

H j

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или A 20lg

 

 

1

 

 

 

 

10lg 1 2 2 , дБ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Определяем передаточную функции H(p) по найденному квадрату

модуля комплексной передаточной функции

 

H j

 

2 .

 

H

j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а. Подставим в функцию квадрата модуля

 

функции

 

 

 

 

 

вместо j

переменную р ( j = p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H j

 

2

 

 

H p

 

 

2 H02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(17.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jp

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

2

 

jp

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б. Определяем полюсы функции

 

 

 

2. Для этого приравняем полином

 

 

 

 

знаменателя к нулю и найдем корни

полинома

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jp 2m

1

0,

jp 2m

 

1

 

, jp

1 1 2m 1 2 1 2m

1 1 2m m

 

(17.17)

 

1

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда учитывая, что 1 e j 2k 1 ,

k 1, 2, ,2m, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

j

2k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pk

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2m

 

 

,

k 1, 2, ,2m,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.18)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

235

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 17.14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

pk

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jcos

 

 

 

,

k 1, 2, ,2m.

 

 

 

 

(17.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например, если 2m = 8, тогда полюсы равны (рис. 17.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

p

 

 

jcos

 

 

sin

 

 

1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

k 2

p

 

 

 

jcos

3

 

 

sin

3

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

8

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

8

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

7

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 3

p3

 

jcos

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

k 4

p4

 

 

jcos

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

4

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 5

p5

 

 

jcos

9

 

 

9

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

k 6

p5

 

 

jcos

11

11

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

4

8

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

15

 

 

 

1

 

 

 

 

k 7

p5

 

 

jcos

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, k 8

p5

 

jcos

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

4m

 

 

 

8

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

Если коэффициент неравномерности ослабления равен единице, то найденные полюсы располагаются на единичной окружности (рис. 17.14).

в. Представляем функцию

 

H

p

2 в виде:

 

 

H

p

 

2

H p H p ,

(17.20)

 

 

выбираем полюсы, лежащие в левой полуплоскости комплексной плоскости р (р1, р2, р3, р4), и представляем нормированную передаточную функцию Н(р) следующим образом

 

 

 

 

 

 

 

H p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(17.21)

 

 

 

 

 

 

 

 

p p p p

2

 

p p

3

p p

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Поскольку полюсы попарно комплексно-сопряженные

(в нашем случае

p1

p

4, p2

p

3), тогда функцию Н(р) можно представить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.22)

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

psin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

psin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

8

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

или в общем случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (17.23)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

m 1

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

psin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... p

 

 

 

 

 

 

 

psin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m m 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

236

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

1.41

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если:

m

1,

p

 

 

;

m 2, p

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

, ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–

 

 

2

 

0,5176

 

1

 

 

 

2

 

 

1,4142

 

 

 

1

 

 

2

 

1,9319

 

1

 

 

m 6,

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

полиномы Баттерворта.

Расчет ФНЧ с характеристикой Баттерворта

Постановка задачи. Дано: полоса пропускания – (0, п), полоса непропускания – ( з, ), ослабление Aрmax в полосе пропускания, ослабление Aрmin в полосе непропускания. Необходимо рассчитать фильтр нижних частот.

Порядок расчета

1. Нормируем текущую частоту относительно частоты п полосы пропускания п и определяем нормированные частоты полос пропускания и

непропускания п 1,

 

з з

п .

 

 

2. Определяем коэффициент неравномерности ослабления в полосе про-

пускания, исходя из уравнения

 

 

 

 

 

 

A

1

ln 1 2 2m

 

п 1

A

 

Нп ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

2

 

 

 

 

 

 

 

рmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

e2Aрmax 1

 

 

 

 

100,1Aрmax 1, если ослабление в дБ .

3. Определяем порядок m фильтра из уравнения

A

1

ln 1 2 2m

 

з

A

 

 

Нп

 

 

 

 

 

 

 

р

2

 

 

 

 

 

 

рmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2Aрmin

1

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

2

 

 

m

 

 

 

 

или m

 

 

 

 

 

 

2ln з

 

 

 

 

 

 

 

 

100.1Aрmin 1

 

lg

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

, если ослабление в дБ .

 

2lg з

 

 

 

 

4.

Зная m, определяем квадрат модуля передаточной функции

 

H p

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H p

 

2

 

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 jp 2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Определяем полюсы функции

 

H

p

 

2из

уравнения 1 2 jp 2m 0.

 

 

 

 

1

 

 

2k 1

 

 

 

 

2k 1

 

 

pk

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

jcos

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2m

 

 

 

 

 

2m

6. Выбираем полюсы, расположенные в левой полуплоскости, и определяем нормированную функцию Н( р)

1

H p p p1 p pm .

7. Зная операторную передаточную функцию Н( р), определяем комплексную передаточную функцию H j фильтра

H p

 

p j

H j

 

H j

 

e j H .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

237

Решение задачи аппроксимации квадрата АЧХ фильтра нижних частот по критерию Чебышева

Постановка задачи: пусть задан квадрат АЧХ фильтра нижних частот

(рис. 17.13). Требуется найти из класса четных дробно-рациональных функций

H j 2

H j

 

2 H02

1 c1 2 cn 2n

(17.24)

 

 

1 d1 2 dm 2m

 

 

 

 

такую аппроксимирующую функцию, которая бы описывала заданный квадрат АЧХ с необходимой точностью по критерию Чебышева. При этом допускается, что аппроксимирующая функция может принимать в полосе пропускания несколько раз минимальные и максимальные значения (рис. 17.15).

Рис. 17.15

Порядок решения

1. Так как квадрат модуля комплексной передаточной функции H j 2 должен спадать при п, то нули функции должны находиться на , а это значит, что все коэффициенты полинома числителя равны нулю, кроме первого, тогда

 

H j

 

2 H02

1

H02

1

 

 

,

 

 

 

(17.25)

 

 

 

 

 

 

 

1 d1 2 dm 2m

1 2Tm2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Tm – некоторая функция, которую необходимо найти.

 

H

j

 

2

 

2. Поскольку допускается, что квадрат модуля функции

 

 

может

принимать в полосе пропускания 0… п несколько раз минимальные и макси-

мальные

 

 

 

значения (рисунок

17.15),

тогда, так как производные функции

 

H j

 

2 на частотах imax и

jmin

равны нулю, можно записать, что

 

 

 

 

 

 

dTm

 

 

 

0, кроме точки п. В теории [9, 11] показано, что из этого

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

imax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

imin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия можно получить дифференциальное уравнение вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dTm

 

 

 

1 Tm2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cm

 

 

 

 

,

(17.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

1 2

 

которое можно решить, разделяя переменные и переходя к нормированным частотам, следующим образом

238

 

 

dTm

 

Cm

 

d

 

 

.

(17.27)

 

 

 

 

 

 

 

1 Tm2

1

2

Откуда arccosTm Cm arccos и Tm cos Cm arccos .

 

Коэффициент Cm выбираем таким, чтобы функция Tm

была полино-

мом степени m. Доказано, что коэффициент Cm должен быть равен m (Cm m), в этом случае функция Tm принимает вид

Tm cos marccos ,

(17.28)

где Tm – полиномы Чебышева первого рода порядка m.

Свойства полинома Чебышева

1. Нули полинома Tm определяются из уравнения

 

2i 1

 

i 1...m.

(17.29)

i cos

 

 

,

2m

 

 

 

 

 

 

2.Количество нулей равно m.

3.Полином имеет (m + 1) максимальных (+1) и минимальных (–1) значений в диапазоне частот 1 1.

4.При 1 (или 1) значение полинома Чебышева намного больше 1 Tm 1, при этом полиномы Чебышева имеют вид Tm ch mArch .

Для разных значений m функция Tm имеет вид

m 0

T 1,

m 1

T ,

 

 

0

 

 

1

 

m 2

T

2 2

1, m 3

T 4 3

3 .

 

2

 

 

3

 

Рекуррентная формула для определения полинома Чебышева

Tm 1 2 Tm Tm 1 .

Например, для m = 4 T

4

2 T

T

2

8 4

8 2 1.

 

 

3

 

 

На рис. 17.16 приведены графики функции Tm

для значений m = 0, 1,

2, 3.

 

 

 

 

 

 

Рис. 17.16

239

Лекция 31 Определение передаточной функции Н(р) фильтра нижних частот

с характеристикой Чебышева по найденному квадрату модуля АЧХ

|Н(j )|2

1. Зная функцию

H j

 

2, определяем

 

H

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H p

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

H02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H02

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(17.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 p

 

 

2

1

 

 

 

2

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Tm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

2

 

j

 

 

 

 

 

 

2. Определяем полюсы функции

 

 

H p

 

 

2, для этого:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) найдем корни полинома знаменателя из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Tm

 

 

 

 

0, откуда

 

Tm

 

 

 

 

j

 

 

 

 

или

cos marccos

 

 

 

j

 

 

 

 

;(17.31)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

б)

введем некоторую комплексную функцию w u jv arccos p j и

подставим ее в последнее выражение, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos m u jv j

1

или

cos mu cos

jmv sin mu sin jmv j

1

;

(17.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) преобразуем полученное выражение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos mu ch mv jsin mu sh mv j

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) приравняем мнимые и реальные части в последнем выражении

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos mu ch mv 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin mu sh mv

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) из этих уравнений имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

uk

2k 1

,

 

 

k 1, 2, ,2m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.35)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vk

Arsh 1

,

 

 

 

 

 

 

к 1,...,2m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) подставляем вместо uk и vk

 

 

их выражения, получаем уравнение для

определения полюсов функции

 

 

H p

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

Arsh 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k 1

 

 

 

Arsh 1

 

 

 

 

(17.37)

 

 

 

 

pk sin

 

 

 

 

 

 

 

sh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jcos

 

 

 

 

 

ch

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

2m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или pk k j k.

240

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности