515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

Порядок анализа

1. Определяем количество отсчетов N выходного сигнала (результата линейной свертки) по формуле

2.Дополняем справа последовательность входного сигнала нулями, количество нулей равно N2 – 1.

3.Дополняем справа последовательность импульсной характеристики нулями, количество нулей равно N1 – 1.

4.Определяем выходную последовательность (выходной сигнал) по формуле линейной дискретной свертки

n 0

Метод круговой свертки

Метод основан на свойстве круговой свертки: свертка сигналов x1(n) и x2(n) соответствует произведению ДПФ сигналов.

Заметим, что формула круговой свертки (9.53) применима к периодическому входному дискретному сигналу и импульсной характеристике, имеющих равные периоды N, причем круговая свертка также выполняется на периоде в N отсчетов. Для того чтобы результат круговой свертки соответствовал результату линейной свертки, период круговой свертки должен соответствовать длине линейной свертки. Алгоритм круговой свертки:

1. Вычисляем ДПФ входной последовательности x(n)

141

Примеры и задачи

Пример 1. Дана последовательность х nT e nT , n = 0, 1, 2 ,…; α < 0. Найти спектр этой последовательности.

Решение

Решение Воспользуемся формулой z-изображения

Z( n ) n z n 0 z 0 1.

n 0

142

Пример 4. Определить z-изображение задержанного на m отсчетов дискретного импульса

Решение Используя теорему запаздывания, имеем

Z( n m ) n m z n Z( n )z m z m.

n

Пример 5. Определить z-изображение дискретной ступенчатой функция u n

Решение Воспользуемся формулой z-изображения

n

Пример 6. Определить z-изображение задержанной на m отсчетов дискретной ступенчатой функция u n m

Решение Используя теорему запаздывания, имеем

Пример 7. Задана последовательность

x n 1 при n 0 0 при n 0.

Определить область сходимости z-преобразования последовательности х(n) и границу области сходимости.

143

Решение

Определяем Z-преобразование последовательности х(n)

сходимости х(z) является часть Z-плоскости вне круга радиуса 1, как показано на рис. 9.14.

Граница сходимости z-преобразования последовательности х(n) – это значения Z с радиусом 1. Радиус сходимости R последовательности х(n) равен: R = 1.

Рис. 9.14

Пример 8. Имеется периодическая последовательность хp(n) вида

где m – целое число.

Найти ДПФ периодической последовательности хp(n) и показать периодичность ДПФ.

Решение

Покажем периодичность ДПФ:

Пример 9. Имеются две последовательности с периодом N = 3 х1(n) = {0.0; 1.0; 2.0} и х2(n) = {1.0; –1.0; 0.0} (рис. 9.15). Найти круговую свертку сигналов.

144

Х2(0) = 1 – 1+ 0 = 0, X2(1) = 1 – cos120˚+ jsin120˚= 1,5 + j0.866, X2(2) = 1 – cos240˚ + jsin240˚ = 1,5 – j0,866.

2. Определяем ДПФ выходного сигнала

Y(k)=X1(k)*X2(k)={0; -1,5+j0,866; -1,5-j0,866}{0;1,5+j0,866; 1,5-j0,866}= ={0;-3;-3;}.

3. Определяем выходную последовательность y(n), используя формулу обратного ДПФ

= 1/3{0 – 3[cos(n120˚) + jsin(n120˚) – 3[cos(n240˚) + jsin(n240˚)]}. y(0) = (1/3)(-3-3) = –2; у(1) = (1/3)(3/2– 3j0,866+3/2 + 3j0,866) = 1;

у(2) = (1/3)(3/2 + 3j0,866 + 3/2 – 3j0,866) = 1. Y(n) = {-2;1;1}. Видно, что полученный результат совпадает с решением 1.

Пример 10. Разностное уравнение цепи имеет вид

y nT 0,6y nT T 0,05y nT 2T x nT .

Необходимо: 1) привести схему дискретной цепи; 2) найти выходной сигнал и два первых отсчета сигнала для нулевых начальных условий у(–1T) = 0 и у(–2T)

=0, если входной сигнал равен

xnT e jn, n = 0, 1, 2, ….

Решение 1. По виду разностного уравнения, учитывая прямые и обратные связи,

приведем схему дискретной цепи (рис. 9.16).

Рис. 9.16

146

2. Применим Z-преобразование к правой и левой частям разностного уравнения

Y z 0,6Y z z 1 0,05Y z z 2 X z . 3. Найдем передаточную функцию цепи

4. Найдем Z-преобразование входного сигнала

5. Находим Z-преобразование выходного сигнала Y(z)

6.Определяем полюсы функции Y(z)

1 0,6z 1 0,05z 2 1 e jz 1 0.

углы при экспоненте выражаются в радианах).

147

По разностному уравнению:

y 0T 0,6y 0T T 0,05y 0T 2T х 0T e j0 1,

y 1T 0,6y T T 0,05y T 2T х 1T 0,6 e j10,6 0,5403 j0,8415 1,1403 j0,8415.

Задача 1. Имеется последовательность x(n) ограниченной длительности

x n 1 для 0 n N 1

0 для n 0, n N 1.

1. Найти ДПФ последовательности x(n) при N = 5. 2. Построить амплитудный и фазовый спектры ДПФ. 3. Сравнить амплитудный и фазовый спектр ДПФ с амплитудным и фазовым спектрами преобразования Фурье последовательности x(n).

Задача 2. Задан аналоговый сигнал в виде треугольного импульса, амплитуда сигнала равна 1 В, длительность сигнала равна 4 мкс (рис. 9.17). Определить интервал и частоту дискретизации, полагая, что граничная (верхняя) частота сигнала находится из условия, что на частотах, выше граничной, все значения модуля спектральной плотности более, чем в 10 раз меньше максимального значения.

Рис. 9.17

димо определить сумму квадратов отсчетов импульсной характеристики

h2 nT .

n 0

Построить графики АЧХ и ФЧХ дискретной цепи.

148

ТЕМА 10. Четырехполюсники

Лекция 18 Классификация четырехполюсников. Параметры четырехполюсников

и их свойства. Уравнения передачи четырехполюсников

Четырехполюсник – электрическая цепь любой сложности, имеющая две пары зажимов (полюсов), с помощью которых она соединяется с другими участками цепи, и через которые протекают попарно равные токи. В частном случае «другими участками цепи» могут быть источник и нагрузка (рис. 10.1).

Рис. 10.1

На рис. 10.1 зажимы 1-1 , 2-2 – соответственно входные и выходные зажимы четырехполюсника.

Классификация четырехполюсников

1.По свойствам и применяемым элементам четырехполюсники подразделяются на:

а) линейные, нелинейные; б) активные, пассивные;

в) автономные (независимые), неавтономные; г) обратимые, необратимые; д) симметричные, несимметричные;

е) эквивалентные, неэквивалентные; ж) уравновешенные, неуравновешенные.

2.По структуре четырехполюсники подразделяются на:

а) мостовые (с различными характеристиками); б) лестничные (Г-образные, Т-образные, П-образные).

Параметры (характеристики) четырехполюсников

I. Основные (первичные) параметры

А, B, Z , Y, H , F.

II. Внешние (рабочие) параметры

Это такие параметры, которые характеризуют четырехполюсник, работающий в рассогласованном режиме, когда входное сопротивление четырехполюсника со стороны входных (1-1 ) и выходных (2-2 ) зажимов не равны соответственно внутреннему сопротивлению генератора Zг и сопротивлению нагрузки Zн

149

К внешним параметрам относятся:

1)рабочая передаточная функция H p ;

2)рабочая постоянная передачи Г p Ap jBp ;

3)рабочее ослабление Ap;

4)рабочая фазовая постоянная Bp;

5)входные сопротивления со стороны зажимов 1-1 и 2-2 : Z вх1и Z вх2;

6)входные сопротивления в режимах холостого хода и короткого замыкания со стороны зажимов 1-1 и 2-2 ;

7)передаточная функция H нагруженного четырехполюсника.

III. Характеристические (собственные) параметры

Это параметры четырехполюсника, работающего в согласованном режиме,

когда Z вх1 Z г , Zвх2 Z н .

Эти параметры могут быть получены из рабочих параметров при условии

Z вх1 Z г , Zвх2 Z н .

К характеристическим (собственным) параметрам относятся:

1)характеристическая (собственная) передаточная функция H с ;

2)характеристическая постоянная передачи Г c Аc jВc ;

3)характеристическое ослабление Аc ;

4)характеристическая фазовая постоянная Bс ;

5)характеристические сопротивления Z с1, Z c2 – это входные сопротивле-

Свойство обратимости четырехполюсника. Четырехполюсник обрати-

мый, если для него выполняется принцип взаимности, а именно: если источник, включенный в любую l-ую ветвь электрической цепи порождает ток I k в k-й ветви, то, будучи включенным в k-ую ветвь, этот источник порождает в l-ой ветви ток I l , равный току I k . Верно утверждение: пассивный линейный четырехполюсник является обратимым.

Условие обратимости четырехполюсника

Из условия обратимости следует, что обратимый четырехполюсник характеризуется тремя независимыми основными параметрами.

Свойство симметрии. Четырехполюсник симметричен, если входные и выходные токи и напряжения не изменяются при перестановке местами входных и выходных зажимов четырехполюсника.

Условие симметрии

Замечание. Условие симметрии выполняется обязательно с условием обратимости: если четырехполюсник симметричен, то он обязательно обратимый

150