515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

ТЕМА 7. Временные методы анализа переходных процессов

Лекция 13 Переходная и импульсная характеристики электрических цепей.

Метод интеграла Дюамеля. Метод интеграла наложения (свертки)

Временные методы анализа переходных процессов базируются на импульсной и переходной характеристиках цепи.

Импульсная характеристика h t цепи – отношение реакции цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции t (функции Дирака) к значению площади S0 импульса при нулевых начальных условиях

В качестве реакции может быть напряжение на любом элементе или ток в любой ветви. В качестве воздействия может быть источник тока или напряжения.

Рис. 7.1

101

0

Связь между импульсной характеристикой h t и операторной передаточной функцией цепи H p

Связь устанавливается прямым и обратным преобразованиями Лапласа

Связь между импульсной характеристикой h t и комплексной передаточной функцией H( j )

Связь устанавливается с помощью прямого и обратного преобразований Фурье

Анализ переходных процессов в цепях 1-го порядка методом интеграла Дюамеля

Имеется четыре формы интеграла Дюамеля. Одна из которых имеет вид

f1 ti уменьшается на f1 ti .

Пусть на вход RC- и RL-цепей (табл. 7.1) подается прямоугольный импульс длительностью импульса tи и амплитудой Um 1.

Табл. 7.1

102

1.Находим переходную характеристику цепи (любым известным методом классическим или операторным, подавая на вход единичную функцию) или

2.Определяем участки интегрирования

1участок: 0 t tи, 2 участок: tи t

3.Зная переходную характеристику, находим выходное напряжение на первом участке (0 t tи), используя интеграл Дюамеля

4.Определяем напряжение на втором участке (tи t ), при этом учтем результаты интегрирования на 1 участке

103

5. Построим графики зависимости uR2C t и uR2L t для R1 R2 и tи ц

Анализ переходных процессов методом интеграла наложения (свертки). Дифференцирующие и интегрирующие пассивные цепи

Интеграл наложения (свертки) имеет вид

Анализ переходных процессов в цепях первого порядка методом интеграла наложения (свертки)

На вход схемы, приведенной на рис. 7.2, поступает сигнал в виде прямоугольного импульса

Рис. 7.2

Цель анализа: найти реакцию цепи (выходное напряжение) uR2C t методом интеграла свертки.

Анализ

1. Находим переходную характеристику g t цепи, используя любой известный метод или используя формулу (если цепь содержит один реактивный элемент)

104

5.Находим реакцию цепи на втором участке, при этом учтем напряжение на первом участке

f2 t uR2C t

Рис. 7.3

Замечание. Характеристики h t и g t цепи определяются при нулевых начальных условиях.

Если начальные условия не равны 0, тогда они учитываются в схеме в виде эквивалентных источников тока и напряжения, при этом в исследуемой схеме элементы С и L представляют схемами замещения.

105

Дифференцирующие пассивные цепи

Дифференцирующие RL и RC пассивные цепи – это такие цепи, реакция которых пропорциональна производной воздействия.

Цель анализа: найти постоянные времени цепи, привести условия дифференцирования во временной и в частотной областях, определить передаточные и частотные характеристики цепей, найти реакции цепей.

Анализ дифференцирующих RL и RC цепей во временной области при-

веден в табл. 7.2.

Табл. 7.2

3. Учитывая условия дифференцирования, записываем уравнения ЗНК и определяем ток i t

4. Зная ток i t , находим выходное напряжение (реакцию цепи)

5. Пусть на вход цепи подается последовательность прямоугольных импульсов, причем ц tи. Выходные напряжения uR t и uL t имеют вид

Анализ дифференцирующих RL и RC цепей в частотной области при-

веден в табл. 7.3.

106

Табл. 7.3

1. Определяем комплексную передаточную функцию цепи

3. С учетом условия дифференцирования записываем комплексную передаточную функцию

4.Графики модуля комплексной передаточной функции цепи H( j ) (АЧХ) имеют вид

5.Зная H( j ), определим выходное напряжение

Интегрирующие пассивные RC и RL цепи

Интегрирующие пассивные RC и RL цепи – это такие цепи, реакция ко-

торых пропорциональна интегралу воздействия.

Цель анализа: найти постоянные времени цепи, привести условия интегрирования во временной и в частотной областях, найти передаточные и частотные характеристики цепей, найти реакции цепей.

Анализ интегрирующих RL и RC цепей во временной области приведен

втабл. 7.4.

Табл. 7.4

1. Составляем уравнения ЗНК

107

3. Учитывая условия интегрирования, записываем уравнения ЗНК

4. Определяем ток в цепи

5.Определяем выходное напряжение. Видно, что выходное напряжение пропорционально интегралу входного напряжения

6.Пусть на вход цепи подается последовательность прямоугольных импульсов, причем ц tи. Выходные напряжения uc t и uR t имеют вид

Анализ интегрирующих RL и RC цепей в частотной области приведен

втабл. 7.5.

Табл. 7.5

1. Определяем комплексную передаточную функцию цепи

108

2. Сравнивая H( j ) с результатом идеального интегрирования 1 j , находим условия интегрирования в частотной области

3. С учетом условия интегрирования запишем комплексную передаточную функцию

4.Графики модуля комплексной передаточной функции цепи H( j ) (АЧХ) имеют вид

5.Зная H( j ), определим выходное напряжение

Примеры и задачи Пример 1. Дана электрическая цепь (рис. 7.4). Определить переходные ха-

рактеристики цепи gu(t), gY(t) и импульсные характеристики hu(t), hY(t).

R = 1 кОм, С = 1 мкФ.

Рис. 7.4

Решение

1.Обозначим ток в схеме.

2.Переходная характеристика gu(t) численно равна напряжению на выходе,

аgY(t) – току в цепи, при подаче на вход единичного воздействия.

Найдем законы изменения u2(t) и i(t) при Е = 1 В.

3. Рассчитаем переходный процесс классическим методом (рис. 7.5).

Рис. 7.5

109

t = 0–:

uC 0 0.

t = 0+:

uC 0 0,

i 0 R uC 0 E,

E1

i0 R 103 1 мА.

t :

iпр 0, uCпр E 1 В.

Корень характеристического уравнения

Получаем

В,

А.

Тогда

,

А/В. Определим импульсные характеристики цепи. gu 0 0, тогда

hu t gu t 1 1e 1000t 1000e 1000t 1c . gY 0 10 3, тогда

hY t gY 0 t gY t 10 3 t e 1000t AВ с .

Пример 2.

Дана электрическая цепь (рис. 7.6). Найти импульсную характеристику цепи hu(t) операторным методом.

R = 1 кОм, С = 1 мкФ.

Рис. 7.6

Решение Определим реакцию цепи, подав на вход -функцию, для этого составим

операторную схему замещения (рис. 7.7).

pC

110