515_Teorija Ehlektricheskikh Tsepej

Пусть имеется схема с биполярным транзистором (n-p-n переход) (рис. 11.6).

Рис. 11.6

Цель анализа: для заданных значений элементов схемы Rг1, Rг2, E1, E2 и ВАХ нелинейного элемента найти токи I10, I20 и напряжения U10 , U20 в режиме постоянного тока (решение сводится к определению рабочей точки на входных и выходных ВАХ транзистора).

Порядок анализа

1. Из справочника берутся входные (рис. 11.7 а) и выходные (рис. 11.7 б) ВАХ транзистора (если в справочнике нет ВАХ, то они находятся экспериментальным путем).

Рис. 11.7

2. Обозначим входной I и выходной II контуры электрической цепи и за-

3. Из полученных уравнений определяем токи I1 и I2 (это уравнения прямых линий)

4.Построим соответственно на входных и выходных ВАХ (рисунок 11.7) графики зависимостей токов I1 и I2 (прямые линии).

5.На входной ВАХ определяем точку А пересечения ВАХ и графика урав-

нения тока I1 и определяем ток I10 и напряжение U10 . Зная ток базы I10 iб A , находим точку В пересечения графика уравнения тока I2 с ВАХ, соответству-

ющую току базы I10 (I10 iб A ).

Дальнейший анализ электрической цепи может быть связан с нахождением токов в ветвях и напряжений на элементах цепи.

161

Если на вход цепи будет подан сигнал, то анализ прохождения сигнала через цепь с четырехполюсным НЭ может быть проведен, если известна математическая функция проходной ВАХ ЧНЭ. Определение этой математической функции по заданному графику ВАХ относится к задаче аппроксимации (т.е. поиску такой математической функции, которая достаточно точно описывала бы ВАХ ЧНЭ).

162

Лекция 20 Аналитическое представление ВАХ нелинейных элементов.

Решение задачи аппроксимации

Постановка задачи аппроксимации: задана ВАХ в виде табл. 11.4, необ-

ходимо найти аналитическую функцию с достаточной точностью аппроксимирующую ВАХ нелинейного элемента.

Табл. 11.4

Общий порядок решения задачи аппроксимации

Замечание. Заданная ВАХ – аппроксимируемая функция (u) или (х), а функция, которая будет описывать ВАХ называется аппроксимирующей функцией f(u).

1.Выбираем вид аппроксимирующей функции f(u). В качестве аппроксими-

рующей функции f(u) в технике используются:

а) алгебраические полиномы (степенные ряды) вида

Рис. 11.8

г) кусочно-кубические функции – кубические сплайны

163

При U0 0 ряд Тейлора имеет вид (ряд Маклорена)

где т – тепловой потенциал равный 0,026 В при Т = 300К; u – напряжение.

2.Выбираем критерий приближения аппроксимирующей функции f(u) к аппроксимируемой функции (u).

Наибольшее распространение получили следующие критерии приближения: а) критерий Чебышева – критерий наилучшего равномерного приближения

a0, ,an

Критерий Чебышева базируется на следующей теореме Чебышева: если рациональная функция f x, a1, a2, , an с N коэффициентами аппроксимирует вещественную функцию (х) на заданном отрезке [c, d] по Чебышеву, то все максимумы отклонения равны между собой и достигаются не менее, чем N + 1 раз, причем знаки отклонений чередуются.

На рис. 11.9 а представлены графики функции (u) и f(u). Функция f(u) – полином 1-ой степени (N = 1). Знаки отклонений чередуются: «–», «+»,«–»;

Рис. 11.9

б) среднеквадратический критерий (среднеквадратическое приближение). Для непрерывной функции заданной на отрезке [c; d] (рис. 11.9 б)

функция f(u) будет наилучшим образом приближаться к функции (u) при таких коэффициентах a1, , aN , при которых сумма квадратов отклонений f(u) от(u) в точках u1, ,uk (k > N) будет минимальной;

в) критерий приближения (интерполяция) – совпадение значений функций f(u) и (u) в заданных (выбранных) точках ui (в узлах интерполяции), где

164

i = 1, …, N – количество неизвестных коэффициентов (количество узлов интерполяции). Аппроксимация называется интерполяцией

Недостаток: отсутствует процедура выбора узлов интерполяции;

г) приближение по Тейлору – значение аппроксимирующей функции f(u) и аппроксимируемой функции (u) и их N – 1 значений производных совпадают в выбранной точке U0

f U0, a1, ,aN U0 ,

f N 1 U0, a1, ,aN N 1 U0 ,

где N – количество неизвестных коэффициентов.

3.Составляем систему уравнений, из которой определяем коэффициенты.

4.Записываем аппроксимирующую функцию f(u).

Всоответствии с общим порядком решения задачи аппроксимации находим аппроксимирующую функцию для различных критериев приближения.

Аппроксимация по среднеквадратическому критерию приближения

a0, ,aN M k 1

1.Выбираем аппроксимирующую функцию f(u) в виде степенного ряда (полином 2-ой степени, s = 2)

3. Определяем значения uн в точках 0,4, …, 0,9; M = 5 k = 1: uн1 0,4 0,7 0,3; uн21 0,09;

k= 5: uн5 0,9 0,7 0,2; uн25 0,04.

4.Получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициен-

этим коэффициентам и приравняв их нулю (минимумы функции )

165

где i = 0, 1, 2; s = 0, 1, 2; M = 5 – количество точек, в которых определены отклонения функции f uk от функции uk .

Из последнего выражения получим

5. Из полученного соотношения сформируем систему из трех уравнений для определения трех неизвестных коэффициентов a0, a1, a2.

a0 u10 u20 u30 u40 u50 a1 u10 1 u12 u31 u14 u51 a2 u12 u22 u32 u42 u52 (11.31)u1 u10 u2 u20 u3 u30 u4 u40 u5 u50.

a0 u12 u22 u32 u42 u52 a1 u13 u23 u33 u43 u53 a2 u14 u24 u34 u44 u54 (11.33)u1 u12 u2 u22 u3 u32 u4 u42 u5 u52.

6. Подставим в полученную систему из трех уравнений вместо напряжений uн1, uн2, uн3, uн4, uн5 их значения, а вместо значений ui подставим значения токов из таблицы, соответствующие напряжениям 0,04; 0,05; 0,15; 0,25; 0,5, тогда

166

7. Решим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов a0, a1, a2

8. Зная коэффициенты, запишем вид аппроксимирующей функции f(u)

uk в узлах интерполяции

1.Выбираем узлы интерполяции. Поскольку функция f(u) имеет три неиз-

вестных коэффициента a0, a1, a2 , то выбираем три узла интерполяции и определяем значения напряжения в узлах

Количество производных на единицу меньше количества неизвестных коэффициентов функции f u .

2. Определяем приближенно по функции u производные и значения функции f u в точке U0

167

Так как возникает трудность в определении второй производной по таблице, то для вычисления a2 применяем следующую (эмпирическую) формулу (величины Umax , I0 , Imin пояснены на рис. 11.10)

Рис. 11.10

3. Запишем аппроксимирующую функцию

Замечание. Наибольшее распространение из всех критериев приближения получил среднеквадратический критерий приближения.

168

ТЕМА 12. Нелинейные электрические цепи при гармоническом воздействии

Лекция 21 Воздействие гармонических колебаний на нелинейный резистивный

элемент (НРЭ)

При анализе нелинейных электрических цепей, следует иметь в виду, что:

1)нет общих методов анализа нелинейных электрических цепей;

2)все методы анализа приближенные;

3)применимы законы Кирхгофа (ЗТК и ЗНК);

4)не применим закон Ома;

5)не применимы принципы взаимности (обратимости) и суперпозиции. Постановка задачи анализа: имеется нелинейный резистивный элемент

(НЭ), ВАХ которого задана в виде табл. 12.1.

Табл. 12.1

На вход нелинейного элемента подается напряжение в виде суммы гармонического напряжения с максимальной амплитудой Um и постоянного напряжения, равного U0: u t U0 Um cos t.

Необходимо найти спектр тока на выходе НЭ.

Порядок анализа

А. Степенная аппроксимация ВАХ (гармоническое колебание не выходит за пределы ВАХ: U0 = 0,7 В; Um = 0,2 В).

1. Строим график ВАХ НЭ и напряжение u(t) на входе НЭ (рис. 12.1).

Рис. 12.1

169

2. Поскольку входное напряжение не выходит за пределы ВАХ, то аппроксимирующую функцию i(t) находим в виде степенного ряда

a3Um3 cos3 t .

4.В последнем выражении заменим cos2 t, cos3 t, … на сумму косинусов крат-

ных углов

где I0, Im1, Im2, Im3, … – соответственно постоянная составляющая и амплитуды 1-ой, 2-ой, 3-ей и т.д. гармоник тока на выходе НЭ.

Анализ полученного выражения показывает:

1)амплитуды гармонических составляющих зависят нелинейно от амплитуды приложенного напряжения;

2)количество гармонических составляющих равно степени полинома;

3)амплитуды четных (нечетных) гармоник, определяются только коэффициентами при четных (нечетных) степенях слагаемых полинома (и зависят нелинейно от Um).

Б. Аппроксимация ВАХ кусочно-линейными функциями (гармоническое колебание выходит за пределы ВАХ при u(t) ≤ 0: U0 = –0,2 В; Um = 1,1 В).

1.Строим график ВАХ НЭ и подаем напряжение u(t) на вход НЭ (рис. 12.2).

2.Поскольку входное напряжение выходит за пределы ВАХ (при u < 0), тогда ВАХ НЭ аппроксимируем кусочно-линейными функция вида

Ограничимся двумя кусочно-линейными функциями, поиск которых проведем, используя критерий приближения Тейлора:

а) на линейном участке ВАХ выбираем точку А, например, при u = 0,85 и обозначаем UA;

б) записываем ряд Тейлора первого порядка в окрестности точки UA

170