lection_part1-2

таких эффекта ОТО, которые можно наблюдать уже в пределах солнечной системы, и все они действительно были обнаружены. Первый эффект – изменение частоты света при его распространении в поле тяготения, второй – дополнительный поворот орбит планет и спутников, третий – отклонение световых лучей, проходящих вблизи Солнца вследствие их притяжения. Здесь нет возможности подробно останавливаться на вопросе о проверке ОТО, поэтому ограничимся для примера только эффектом отклонения лучей. Он состоит в том, что видимое положение звезд на небе изменяется, если световые лучи проходят вблизи Солнца. Для обнаружения такого изменения небо фотографируется во время полного солнечного затмения, чтобы можно было зафиксировать звезды, свет от которых проходит близко от яркого солнечного диска. Через некоторое время (скажем, через полгода) Солнце будет находиться в силу годичного движения Земли уже в другой области звездного неба, и можно получить фотографию тех же звезд, что и в первом случае, но уже в условиях, когда световые лучи практически не отклоняются.

Отклонение луча, даже проходящего совсем близко к солнечному диску, достигает лишь 1,75 угловой секунды (примерно под таким углом человек был бы виден с расстояния в 200 км). Это отклонение впервые удалось измерить в 1919 г. Наблюдения подтверждают выводы ОТО в пределах достигнутой точности, составляющей примерно 10%.

В классической теории пространство считалось абсолютным, т. е. одинаковым всегда и везде и никак не зависящим от физических явлений, которые в нем происходят. Точно так же и время считалось абсолютным, т. е. неизменным по скорости протекания и одинаковым для всех точек пространства вне зависимости от каких-либо физических явлений. ОТО демонстрирует неотделимость пространства и времени друг от друга и от физических явлений. Теория тяготения А. Эйнштейна устанавливает связь между распределением и движением материи, с одной стороны, и метрикой пространства-времени, с другой.

Тот факт, что световые лучи распространяются вблизи тел не по прямым линиям, отражает, быть может, самое глубокое следствие ОТО. Именно при наличии полей тяготения пространство становится неэвклидовым (с «негалилеевым» временем, «протекающим» в разных местах с разной скоростью, т.е. можно говорить о четырехмерном пространствевремени). Вообще, в неэвклидовом пространстве нет ничего загадочного. Например, на сферической поверхности геометрия не является эвклидовой. Так, сумма углов треугольника не равна 180°, а непересекающихся прямых нет вообще, более того, кратчайшими расстояниями являются дуги окружностей. Конечно, представить себе замкнутое неэвклидово трехмерное пространство довольно трудно, но сравнительно небольшие отклонения от эвклидовой геометрии вполне наглядны.

81

Представление о том, что геометрия реального пространства (Вселенной) является эвклидовой (Евклид (III в. до н.э.) в его знамени-

том математическом сочинении «Начала») было обобщением повседневного опыта, но при переходе к большим расстояниям или в случае измерений с достаточно высокой точностью вполне может оказаться неверным. Неэвклидова геометрия уже была создана к моменту появления ОТО (К. Гаусс (1777–1855), Н.И. Лобачевский (1792–1856), Я. Больяйи (1802–1860), Г. Риман (1826–1866)).

По ОТО установлено, что пространство (и пространство-время) и в самом деле не является эвклидовым, а опыт подтвердил это заключение.

Геометрия пространства-времени определяется материей, зависит от нее. Можно сказать, что тяготение полностью отражается в отклонении геометрии пространства-времени от эвклидовой. Отсюда особенно ясно, что поле тяготения отнюдь не сводится к кинематике, не может быть полностью создано или «исключено» выбором СО. В самом деле, как бы мы ни выбирали СО (координаты) в эвклидовом пространстве, от этого пространство неэвклидовым не станет. Иначе говоря, неэвклидовость пространства является признаком существования «истинного» поля тяготения.

7.2. Космология и ОТО. Стационарные и нестационарные модели Вселенной

Космология – наука о Вселенной как едином целом, представление о мироздании, космогония – наука о развитии небесных тел и их систем.

Доэйнштейновская космология (стационарная однородная эвклидова (СОЭ) модель) столкнулась с большими затруднениями. Необходимо было отказаться, по крайней мере, от одного из «трех китов», на которые она опиралась, – от стационарности, однородности или эвклидовости пространства. Правда, имеется и еще одна возможность – видоизменить НТТ. ОТО обобщила НТТ, устранив противоречие с принципом конечности скорости распространения любых взаимодействий. При этом выяснилось, что геометрия пространства не является, вообще говоря, эвклидовой.

В такой ситуации вполне естественно, что современная космология, базирующаяся на ОТО, начала свое развитие на пути отказа не от стационарности или однородности Вселенной, а от ее эвклидовости. Вселенная Эйнштейна, родившаяся в его работе 1917 г., – это замкнутый на себе, не изменяющийся во времени (его возраст бесконечен) трехмерный сферический мир конечного объема.

Человечество живёт в мире, где положение любой точки определяется тремя её координатами точки в какой-то СО. Обычные для нас поверхности являются двухмерными, а линии – одномерными образованиями. Трехмерная сфера подобна двухмерной – можно сказать, что она является таким же переходом от обычной сферы, каким обычная (двухмерная) сфе-

82

ра является в отношении «одномерной сферы» – окружности. Никаких «краев» у трехмерной сферы, очевидно, нет, но ее объем конечен подобно тому, как конечна поверхность привычной нам двухмерной сферы. Уже наблюдения с Земли позволяют определить, является ли окружающее пространство эвклидовым или нет. Отклонение световых лучей вблизи Солнца доказывает, что некоторая «местная неэвклидовость» действительно имеется.

Для нахождения радиуса кривизны (трехмерной сферической) Вселенной необходимо измерять огромные расстояния порядка нескольких миллиардов световых лет. Неудивительно, что радиус кривизны Вселенной до сих пор не измерен и, более того, не доказано, что ее объем конечен. Тем не менее уже можно утверждать, что если объем все же конечен (это вполне возможно), то радиус мира в нашу эпоху по порядку величины равен 1010 световых лет, т.е. равен 1025 м (отсюда объем V=2π2R2~1079 м3).

А.Эйнштейн попытался с помощью уравнений ОТО связать радиус кривизны Rэ и среднюю плотность вещества в мире ρэ (индекс «э» – модель Эйнштейна). Выяснилось, однако, что уравнения для гравитационного поля – метрического тензора gik не имеют соответствующего решения. Казалось бы, что в рамках ОТО стационарная модель противоречива. Однако уравнения допускают одно (и только одно) простое обобщение, а именно: к ним можно добавить член вида λgik. Новый член в уравнениях ОТО получил название лямбда-члена (чаще пишут так: Λ - член, используя не строчную, а прописную букву лямбда). Уравнения для поля gik с Λ- членом уже имеют не зависящее от времени (стационарное или статическое)

сферическое решение, причем радиус кривизны пространства Rэ = 1Λ , а

Rэ=1025 м, то Λ=10-52 м-2 и ρэ ≈10-26 кг/см3. Для газообразного водорода с такой плотностью концентрация атомов равна примерно 0,1 м-3, т. е. один атом приходится на объем в 100 л. При атмосферном давлении и комнат-

ной температуре в таком объеме находится около 5 1034 атомов водорода. Вся масса вещества в такой модели Мэ=2π2Rэ3ρэ≈2 1053 кг, что в 1023 раз

больше массы Солнца, равной 2 1030кг. Масса нашей Галактики, принадлежащей к числу больших спиральных галактик, ≈1011 масс Солнца, т.е. в мире А.Эйнштейна с выбранными выше параметрами могло бы находиться 1012 галактик, подобных нашей. Такого числа галактик в реальной Вселенной не увидишь и в лучший существующий сейчас телескоп. Вместе с тем цифра 1012 в самом деле является разумной оценкой для существующего во Вселенной числа галактик.

Это не значит, что модель Эйнштейна подтвердилась. Напротив, было выяснено, что эта модель не отвечает действительности, т.к. Вселенная

83

нестационарна – она должна расширяться или сжиматься и ее свойства меняются во времени.

Исторически к выводу о расширении Вселенной пришли по двум путям – в результате наблюдений и теоретически (на основе ОТО). Только примерно в 1929 г. оба пути окончательно слились воедино. Теоретически это было показано, исходя из ОТО в 1922 г. российским ученым А.А. Фридманом (1888–1925) почти без всякой связи с наблюдениями (более того – этот вывод не обязательно связан с ОТО, он вполне понятен уже в рамках ННТ (см. объяснение ниже)). Уравнения ОТО имеют решения, отвечающие однородному пространству, все расстояния в котором (скажем, расстояния между галактиками) изменяются во времени. Средняя плотность вещества, заполняющего пространство, при этом соответственно уменьшается.

С точки зрения нестационарной космологии Фридмана, введение Λ- члена не необходимо и связано с внесением в теорию дополнительной неопределенной постоянной, значение которой можно определить только из сопоставления получающихся формул с наблюдениями. Фридман не отбросил Λ- член (хотя одно из общих правил физиков–теоретиков: если можешь не вводить лишней постоянной, то не вводи ее; это обобщение известного правила-совета У. Оккама (1285–1349) – «бритвы Оккама»: «Не вводи новые сущности без надобности»), но оказалось ясным, что и без этого члена (т.е. при Λ=0) существуют нестационарные решения. Для краткости такие модели без Λ-члена будем называть фридмановскими. Во фридмановских моделях показывается, что при отличной от критической

средней плотности вещества во Вселенной ( 3Н2 ) радиус кривизны про- 8π G

странства переменен: при плотности меньше критической, когда расширение продолжается неограниченно, общая кривизна пространства отрицательна и его полный объем бесконечен; в то же время при плотности, превышающей критическую, когда расширение сменяется сжатием, общая кривизна положительна и пространство имеет конечный объем. В первом случае говорят об открытом, а во втором – о замкнутом пространстве. Кривизна открытого пространства уменьшается при расширении, а кривизна замкнутого пространства уменьшается при расширении и увеличивается при сжатии. В промежуточном случае, когда плотность равна критической и расширение неограниченно, но скорость его постепенно уменьшается, стремясь к нулю, общая кривизна пространства равна нулю и оно является эвклидовым, так что его объем бесконечен. Эти модели по предположению, которое подтверждается наблюдениями, однородны и изотропны: средняя плотность вещества в них в данный момент времени везде одинакова, а все направления в пространстве – эквивалентны. Ус-

84

реднение при этом проводится по большому объему, включающему много галактик. Только в отношении таких больших масштабов и имеет место расширение или, конкретно, удаление галактик друг от друга. Солнечная система, наша Галактика и даже группы (скопления) близких галактик связаны силами тяготения и в общем космологическом расширении не участвуют, т.е. не расширяются. Ситуация в этом отношении аналогична расширению газа, состоящего из многоатомных молекул: расстояния между молекулами увеличиваются, но сами молекулы остаются неизменными, ибо атомы в них связаны между собой.

Внауке обсуждается вопрос о темпах протекания и пределах продолжительности процессов расширения и сжатия (поднимался также вопрос и о существовании некоей «антигравитируюшей» среды для обоснования стационарности Вселенной). Нестационарность моделей Вселенной,

вкоторой действуют лишь силы тяготения, вполне понятна, она обусловлена просто тем, что для равновесия (стационарности) нужно иметь силы двух типов – притяжения и отталкивания (например, в случае надутой резиновой камеры – давление воздуха стремится ее расширить, а силы упругости в резиновой оболочке – сжать).

Оказалось, что и НТТ не только качественно, но даже количественно описывает ход расширения во фридмановских моделях. Этот результат не случаен. ОТО не «отменила» НТТ, она ее только обобщила и содержит в качестве предельного случая – случая слабых полей тяготения. Количественное совпадение между классическим и релятивистским расчетами для фридмановских моделей связано с однородностью и изотропностью пространства в этих моделях.

Почему же такой простой факт не был так долго замечен? Все дело в бесконечности классических моделей. Говоря о радиусе, считали звездный шар конечным. Фактически в НТТ можно перейти и к бесконечной системе, причем результат не изменяется, но такой переход требует специального анализа, предельного перехода от конечной системы к бесконечной. ОТО обогнала в этом отношении НТТ именно потому, что в рамках ОТО бесконечные системы рассматривать легче, а кроме того, имеются и конечные по объему многомерные (сферические неэвклидовы) модели.

В1929 г. наблюдениями было установлено, что скорость удаления V любых двух точек в любом направлении пропорциональна расстоянию между точками R: V=HR, где H – постоянная Хаббла (американским астроном E. Hubble (1889–1953)). Этот вывод был сделан после обнаруже-

ния красного смещения (увеличения длины волны света) в спектре реги-

стрируемого излучения от звезд дальних галактик (для близких галактик такое смещение часто фиолетовое).

85

7.3. Некоторые следствия из ОТО

Гравитационный дефект массы. В классической теории Ньютона (НТТ) гравитационная масса тела (т.е. масса, определяющая создаваемое им поле тяготения), равная, как уже отмечалось (лекция 6), инертной массе, представляет собой сумму масс покоя составляющих его частиц. В релятивистской теории масса тела может быть больше суммарной массы покоя частиц (так как энергия их движения и энергия радиации создают вклад в полную массу) и меньше ее. Например, сравнительно небольшое уменьшение или, как говорят, дефект массы атомных ядер связан с тем, что при объединении нуклонов (протонов и нейтронов) в ядро выделяется энергия их связи. Поскольку в релятивистской теории всякая энергия соответствует определенной массе

E = Mc2 ,

то при этом уменьшается и масса. Совершенно аналогично при образовании массивного тела выделяется гравитационная энергия, что также сопровождается уменьшением массы. Таким образом, существует и гравитационный дефект массы, который можно качественно понять, даже оставаясь в рамках НТТ и учитывая, если он мал, лишь СТО. Но, как показывает ОТО, дефект массы может быть настолько велик, что масса тела окажется равной нулю. В случае же ядерных и других известных сейчас взаимодействий это невозможно.

Если бы мы могли представить себе замкнутый мир (имеющий конечные размеры), как, например, помещенный в пространство гораздо больших размеров, то мы должны были бы считать, что масса шара равняется нулю; его наличие не проявлялось бы никакими внешними действиями, из него не выходил бы «наружу» свет и никакие другие сигналы. Произведем теперь мысленно некоторое изменение шара: «снимем» с него тонкий наружный сферический слой. Тогда окажется, что масса оставшегося шара уже не равна нулю, но она будет много меньше суммы масс покоя его частиц. Мы рассматриваем, конечно, не реальный мир, а просто теоретическую модель, причем считаем, что имеются лишь одни частицы, а радиацией и тепловой энергией можно пренебречь. Чем больше «снимаемый» слой, тем больше остающаяся масса. Она возрастает почти до половины суммарной массы покоя, а при «снятии» дальнейших слоев начинает убывать, так сказать, нормальным образом. Такое причудливое поведение шара объясняется тем, что гравитационный дефект массы для всего замкнутого мира полностью компенсирует его массу покоя и массу, связанную с энергией расширения, а при «снятии» наружных слоев он уменьшается быстрее, чем суммарная масса покоя, и приближается к нулю; тогда становится применимой теория Ньютона. Такая часть замкнутого мира была исследована советским физиком Я.Б. Зельдовичем (1914) и названа им «полузамкнутым миром».

86

В.А. Рубан исследовал другой случай, предсказываемый ОТО: расширяющийся или сжимающийся шар, гравитационная масса которого никак не связана с суммарной массой покоя. Она вообще не создается частицами шара, как в НТТ, и представляет собой характеристику гравитационного поля, т.е. искривления пространства-времени. Такую особенность этой «геометрической» массы отмечает, называя ее «массой без массы», Дж. Уилер. Что касается массы покоя частиц и массы, связанной с энергией расширения или сжатия, то они целиком скомпенсированы гравитационным дефектом массы в каждом сферическом слое. Поэтому при «снятии» слоев гравитационная масса шара Рубана не изменяется в отличие от «полузамкнутого мира».

В обоих разобранных примерах гравитационного дефекта массы – в теории мира А.А. Фридмана, являющейся продолжением в релятивистскую область ньютоновой теории гравитирующего шара, и в теории В.А. Рубана, не имеющей никакого классического аналога, замечательно то обстоятельство, что вся масса системы может быть скомпенсирована. Это значит, что если такие объекты могут образоваться из обычных тел конечной массы, то при их образовании должна выделиться энергия, эквивалентная всей их массе.

Сфера (1916г.) Шварцшильда (1873–1916). Массивное тело создает гравитационное поле, которое на больших расстояниях мало отличается от классического ньютоновского поля. Различие возрастает по мере роста от-

называется гравитационным радиусом тела. Для массы порядка солнечной Rr≈3 103 м, а для земной Rr≈0,01 м. Если тело настолько плотно, что его радиус меньше гравитационного, то другое тело может приблизиться к нему на расстояние Rr. При этом скорость падения, вычисляемая по ньютонов-

1/ 2

ской формуле v = 2GMR , → с, так что теория Ньютона совершенно

неприменима.

ОТОприводитвэтомслучаекцеломурядунеожиданныхрезультатов:

– тело, падающее извне, будет приближаться к сфере радиуса Rr (ее называют сферой Шварцшильда) в течение бесконечного времени по удаленным часам;

87

–по часам, находящимся на этом падающем теле, оно пересечет сферу Шварцшильда и упадет на центральное тело за конечное время;

–если падающее тело излучает свет, то при его приближении к гравитационному радиусу красное смещение будет возрастать, а частота света, принимаемого удаленным прибором, стремиться к нулю;

–фотоны, испущенные телом, вошедшим внутрь сферы Шварцшильда, оказываются «захваченными» полем тяготения; они уже не могут выйти наружу, а движутся внутрь сферы Шварцшильда;

–фотон, у которого траектория полета проходит мимо центрального тела на расстоянии, меньшем 2,6Rr, также «захватывается». Предполагают, что в Метагалактике существуют тела, исчерпавшие свои источники энергии, испытавшие после этого катастрофическое сжатие (коллапс) и, согласно сказанному, застывшие (по нашим часам) на сфере Шварцшильда. Однако надо сказать, что такие объекты, называемые «черными дырами», еще не обнаружены наблюдениями. Можно говорить лишь о косвенном экспериментальном подтверждении этой идеи. Например, фиксируя излучение от какой-либо звезды, можно обнаружить его отсутствие в какой-то области пространства – своеобразную прореху в покрывале принимаемого излучения в месте расположения черной дыры.

Гравитационные волны. В ОТО изменения гравитационного поля, вызванные, например, перемещением масс, передаются на расстояние не мгновенно, как было в теории Ньютона. Они распространяются с той же скоростью, что и электромагнитные волны. В частности, при ряде физических процессов могут возникать изменения метрики, распространяющиеся

впространстве волнообразно. Такие волны называются гравитационными. Источниками гравитационных волн могут быть двойные звезды, пульсары, которые, по-видимому, представляют собой нейтронные звезды, быстро вращающиеся и колеблющиеся, а также активные ядра галактик.

Для справки: пульсары (открыты в 1967г.) – космические источники радио-, оптического, рентгеновского и гамма-излучения, приходящие на Землю в виде периодически повторяющихся всплесков; у радиопульсаров (быстро вращающихся нейтронных звезд – предположительно состоят из нейтронов – масса близка к массе Солнца, но радиус составляет 1/50000 от солнечного (10–20 км)), периоды импульсов 0,03–4 с; у рентгеновских пульсаров (предположительно двойных звезд, где к нейтронной

88

звезде перетекает вещество от второй, обычной звезды) периоды составляют несколько секунд и более.

Генерация и обнаружение гравитационных волн в принципе возможны и в лабораторных установках, например, при помощи быстро вращающихся массивных асимметричных тел (гироскопов).

Наиболее чувствительная установка, предназначенная для обнаружения гравитационных волн, построена Дж. Вебером. Она состоит из двух связанных друг с другом приборов, находящихся на расстоянии примерно тысячи километров. На установке, тщательно защищенной от случайных воздействий, он обнаружил ряд совпадающих по времени сигналов. Вебер считает, что эти совпадения не могут быть случайными, и полагает, что обнаруженные им сигналы создаются приходящими из мирового пространства гравитационными волнами. Если так, то в пространстве вокруг нас должно иметься довольно много гравитационных волн.

Гравитационные волны – тот пункт, в котором ОТО соприкасается с другой фундаментальной теорией современной физики – с квантовой теорией. Подобно тому, как электромагнитным волнам соответствуют их кванты или частицы, фотоны, гравитационным волнам также должны отвечать согласно квантовой теории определенные частицы – кванты этих волн, которые были названы гравитонами.

Квантовая теория гравитационных волн впервые разрабатывалась М.П. Бронштейном (1906–1938). Оказалось, что гравитоны, так же как и фотоны, не имеют массы покоя и движутся со скоростью света. Как и другие частицы, гравитоны могут испытывать столкновения, отдавать или получать энергию и импульс. Д.Д. Иваненко (р.1904) и А.А. Соколов показали, что гравитоны могут при подходящих условиях превращаться, например, в пару электрон–позитрон и, наоборот, электрон и позитрон, сталкиваясь и аннигилируя, могут превратиться в гравитоны. Это означает, что гравитационные волны, или гравитоны, и вообще гравитационное поле, характеризуя геометрические свойства пространства-времени, вместе с тем представляют собой некоторую особую форму материи.

Нужно, однако, подчеркнуть, что свойства гравитонов, предсказываемые теорией, как и само их существование, до сих пор не получили подтверждения в эксперименте или наблюдении.

89

ЛЕКЦИЯ 8. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

ИГАЗОВ

1.Общие свойства жидкостей и газов. Гидростатическое давление

исила Архимеда.

2.Уравнениенеразрывности, уравнениеД. Бернуллииегоследствия.

3.Вязкость (внутреннее трение). Характеристики и критерии определения режимов течения. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей.

4.Стационарное течение жидкости в прямой трубе. Формула

Ж. Пуазейля. Вискозиметр Оствальда-Пинкевича. Определение коэффициента вязкости методом Стокса.

5.Поверхностное натяжение в жидкостях. Капиллярные явления.

6.Движение тел в жидкостях и газах.

8.1. Общие свойства жидкостей и газов. Гидростатическое давление и сила Архимеда

Раздел механики, изучающий движение жидкой среды и ее взаимодействие с твердыми телами, называется гидродинамикой (воздушной – аэродинамикой). Движение среды (жидкости, газа) называют течением, а саму движущуюся среду – потоком. Условия массопереноса при течении среды называются режимом течения. Режим течения, при котором вектор скорости в каждой точке постоянен по модулю и направлению, назы-

вается стационарным или установившимся, иначе – нестационарным. Существуют различные способы классификации течений, например,

по специфике поверхностей, ограничивающей область течения: течение жидкости со свободной поверхностью, с поверхностью раздела, вдоль проницаемой границы и т.п., что позволяет кратко описывать свойства этих течений и указывать методы их исследования.

Рис. 8.1

90