lection_part1-2

ленная ячейка, не имеющая дополнительных узлов кроме вершин ни внутри, ни на гранях и ребрах, называется примитивной или Р-ячейкой. Как правило, целесообразно в качестве элементарной выбирать не примитивную, а сложную ячейку с дополнительными атомами – узлами (расположение атомов в решетке называется узлом): в центре оснований (базоцентрированная) или граней (бокоцентрированная) – С-ячейка; в центре всех 6 граней (гранецентрированная) – F-ячейка; на пересечении внутренних диагоналей (объемно-центрированная) – I-ячейка.

C F I

Рис. 14.1

Условия выбора ячеек: ячейка должна содержать все элементы симметрии, присущие данному веществу; число равных сторон и прямых углов должно быть максимальным; при этом объем ячейки должен быть минимальным.

Оказалось, что все многообразие существующих кристаллических структур может быть описано с помощью 14 типов трансляционных решеток (показано математически в 1848г.), называемых решетками О. Бравэ (1811–1863), распределенных по семи кристаллографическим системам или сингониям (табл. 14.1).

161

Эти индексы связаны с длиной отрезков, отсекаемых соответствующей плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат. Длины отрезков, отсекаемых любой атомной плоскостью кристалла на осях координат, выраженные в постоянных решётки а, b, с, всегда являются целыми числами S1, S2, S3. Если обратные им величины привести к общему знаменателю, а затем отбросить его, то полученные 3 целых числа h=S2S3, k=S1S3, l=S1S2 и есть индексы Миллера. Впрочем, иногда для дополнительных узлов в сложных ячейках используют обозначения [1/2 1/2 0] и т.д. Обозначения прямых записываются в одинарных скобках [hkl], а плоскостей – в круглых скобках. Например, [110] обозначают прямую, проходящую через начало координат [[000]] и узел [[110]], а (110) обозначают плоскость, перпендикулярную направлению [110]. Отрицательные индек-

− −

сы (110) (минус 1, минус 1, нуль) обозначают плоскость, пересекающую-

− −

ся с отрицательным направлением 110 осей координат. Совокупности

плоскостей, симметрично равных друг другу, записывают в фигурных скобках {h k l}.

Помимо кристаллографии, индексы Миллера используются также в рентгенографии, электронографии и нейтронографии для обозначения пучков, рассеянных соответствующими атомными плоскостями кристалла.

В реальных кристаллах, в отличие от идеальных, как правило, наблюдаются дефекты структуры. Под дефектами понимают всякое отклонение от идеального строения кристалла. Дефекты подразделяются на:

–точечные – протяженность не более межатомного размера в любую сторону: чужеродные атомы в узлах и междоузлиях (примесь), отсутствие собственных атомов в узлах решетки (вакансия);

–линейные – протяженность в одном из направлений больше межатомного, в двух остальных порядка межатомного: краевые, винтовые и смешанные (нарушение правильного чередования атомных плоскостей), микротрещины;

–двухмерные – границы зерен и двойников, межфазные границы, стенки доменов, поверхность любого кристалла;

–объемные – пустоты, включения иной фазы (в процессе кристаллизации).

Остановимся подробнее на дислокациях, так как механические свойства ТТ во многом определяются наличием и плотностью ND – их числом на

единицу площади. В наиболее совершенных монокристаллах ND 102-103 см-2, в сильно деформированных кристаллах ND 1011-1012см-2.

Краевой дислокацией (рис. 14.3) называется отсутствие полуплоскости в кристалле (или лишняя полуплоскость). Линия, отделяю-

щая дефектную область кристалла от «нормальной», называется линией

163

Рис. 14.3

Признаком краевой дислокации является условие ОО' τ . Для винтовой дислокации ОО'||τ (рис. 14.4), для смешанной дислокации в одних точках ОО' τ , а в других ОО'||τ (рис.14.5).

В настоящее время считается, что границы зерен (кристаллитов)

представляют собой стенки из дислокаций (рис. 14.6).

ТТ можно классифицировать и по ряду различных признаков. Иногда основой классификации ТТ является характер межатомных сил. Согласно этой классификации все ТТ подразделяют на металлические, ковалентные, ионные и молекулярные кристаллы. ТТ можно классифицировать и по электропроводности: полупроводники, проводники (металлы) и диэлектрики, а также по типу ячейки Бравэ, по прочности и т.д.

14.2. Механические свойства ТТ. Коэффициент термического расширения (КТР)

Под механическими свойствами ТТ понимают их механическую ре-

акцию (деформация) на внешнее воздействие: растяжение–сжатие, из-

гиб, кручение, удар и т.п. В результате внешнего силового воздействия в ТТ появляются напряженные состояния. Обычно оно появляется под действием поверхностных сил, действующих на выделенный элемент

164

площади поверхности со стороны других тел, например, реакция опоры. Объемные силы, например, сила тяжести деформации, обычно деформа-

ций и напряженных состояний не вызывают.

Отношение модуля поверхностной силы dF к площади воздействия dS называется напряжением:

Различают истинные и условные напряжения. Для определения истинного напряжения необходимо учитывать изменение площади воздействия и, следовательно, приложенной внешней поверхностной силы. В общем случае напряженное состояние ТТ описывают с помощью тензора

(матрицы) напряжений σij для учета анизотропности кристаллов (при этом учитываются элементы симметрии и различия механических свойств вдоль разных направлений).

Под действием напряжений ТТ может изменять свою форму, либо объем, но, как правило, и то, и другое меняется одновременно – ТТ дефор-

мируется. Основными видами деформации являются растяжение– сжатие и сдвиг, все остальные случаи могут быть получены посредством их комбинаций. Количественной мерой деформации является в простей-

шем случае так называемая относительная деформация εl = ∆ll или

относительное поперечное растяжение (сжатие) εd = ∆dd , где l – длина

стержня, d – его диаметр, ∆l – абсолютное удлинение (абсолютная де-

формация).

Экспериментально установлено, что, как правило, при деформации в одном направлении тело деформируется и в других направлениях (рис. 14.7).

Поэтому величины εl и εd взаимосвязаны соотношением

где ν – коэффициент Пуассона, зависящий от природы (свойств) материала.

165

Общий вид зависимости σ(ε) напряжения от величины деформации

ε представлен на рис. 14.8. В зависимости от природы тел вид участков кривой различается углами наклона и протяженностью. Участок 01 – область упругой деформации: тело при снятии внешнего воздействия практически полностью восстанавливает свою форму и объем. Наибольшее

значение σy, соответствующее этому, называется пределом упругости. При дальнейшем (σ>σy) незначительном росте напряжений вплоть до не-

которого значения σт – предела текучести – деформация значительно увеличивается (область пластических деформаций – тело не восстанав-

ливает свои размеры и форму). Пластические деформации не приводят к нарушению сплошности тела. Следует отметить интересное явление: если тело подвергнуть пластической деформации, а затем, сняв нагрузку, создать напряжение еще раз, то предел упругости увеличится. Это явление называется деформационным упрочнением. Если участок 12 значителен, то материал называют вязким, если мал – хрупким. Дальнейшее увеличение

напряжений при значениях больших предела прочности σпр вызывает необратимое разрушение тела.

В достаточно узкой области, в которой величина деформации пропорциональна приложенному напряжению вплоть до некоторого значения напряжения, называемого пределом пропорциональности, выполняется

(1660г.) закон Р. Гука (1635–1703):

- в случае деформации растяжения–сжатия

где Е – модуль (1807г.) Т. Юнга (1773–1829) – численно равен напряжению, требуемому для единичного удлинения стержня из данного материала;

- в случае сдвиговой деформации (рис.14.9)

166

где τ – касательное напряжение; G – модуль вектора сдвига;

α – угол сдвига; γ – относительный сдвиг;

- в случае объемной деформации

где P – давление, напряжение всестороннего сжатия; Ω – относительная объемная деформация; χ– модуль всестороннего сжатия.

Формулы (14.3)–(14.5) называются элементарными формами записи закона Гука для изотропных ТТ.

Выделим бесконечно малый объем вещества в виде куба (рис. 14.10). Если на ТТ действуют силы, то в отличие от жидкости и газа эти силы ориентированы произвольно. Обозначим направление Ох за 1, Оy – за 2, Oz

–за 3. Если вещество находится в статическом равновесии, то:

1)силы, действующие на противоположные грани куба, равны по

модулю и противоположны по направлению; 2) полный момент всех сил, действующих на куб, равен нулю, т.е.

достаточно рассмотреть силы, приложенные к трем граням с одной общей вершиной, например, к граням, обращенным на рис. 14.10 к зрителю.

167

На рис. 14.10, а указаны компоненты, действующих сил. Например,

сила dF11 – это составляющая силы dF1 , приложенная в направлении 1

(Ох). Относя обозначенные составляющие к площади грани dS и проецируя полученные векторы на оси координат, получаем:

Величины, определяемые по формуле (14.6), называются механическими напряжениями (см. (14.3) и (14.4)), они полностью характеризуют силы, приложенные к ТТ и образуют так называемые тензор второго ранга (матрицу) – тензор напряжений, где dFij=dFji (см. условия статического равновесия).

Элементарные законы Гука не учитывают явления (14.2) и (14.6), что учитывается εy=εz-νεx для трех направлений в обобщенном законе Гука:

-для удлинения изотропных ТТ:

ε11 = εx = E1 [σ11 −ν(σ22 +σ33 )]= E1 [σ x −ν (σ y +σ z )],

168

Закон Гука для анизотропных (практически всех реальных) ТТ имеет вид(14.3), новсевходящиевнеговеличиныявляютсятензорами(матрицами).

Атомы в кристалле могут совершать колебания в узлах кристаллической решетки (около) положения равновесия. При сообщении им энергии, например, при разогреве тела, амплитуда колебаний атомов возрастает. В квантовой теории показано, что при температуре выше некоторой критической колебания атомов в узлах решетки становятся ангармоническими (негармоническими – отклонение в одну сторону больше, чем в другую). Линейные размеры тела увеличиваются, в связи с этим говорят о тепловом расширении тел и его характеристике – коэффициенте теплового расширения (КТР). Материалы соприкасающихся деталей, покрытий должны иметь одинаковые или близкие КТР во избежание разрушения изделий и конструкций.

169

ЛЕКЦИЯ 15. ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ

1.Классическая теория теплоемкости вещества, границы ее применимости.

2.Фаза. Метастабильные состояния. Диаграммы состояния. Тройные точки. Фазовые переходы (ФП) I и II рода. Явление сверхтекучести (ФП II рода).

15.1.Классическая теория теплоемкости вещества,

границы ее применимости

(перед изучением данного вопроса следует ознакомиться с лекцией 11, вопросы 1 и 2)

Простейшей моделью кристалла (ТТ) является правильная (без дефектов) кристаллическая решетка, в узлах которой располагаются атомы – материальные точки, совершающие колебания около положения равновесия. Если колебания малы, то их можно считать гармоническими (проис-

ходящими по закону синуса или косинуса x = Asin(ωt +ϕ0 )). Так как

средняя кинетическая энергия гармонических колебаний примерно равна потенциальной энергии, то на каждую колебательную степень свободы в

среднем приходится энергия 2 12 kT =kT . Каждый атом обладает тремя

степенями свободы, поэтому его средняя энергия 3kT. Тогда внутренняя энергия 1 моля ТТ будет U = N A 3kT = 3RT , откуда молярная теплоем-

кость ТТ равна

Формула (15.1) выражает эмпирически установленный в 1819г. за-

кон Дюлонга–Пти (П.Л.Дюлонг (1785–1838), А.Т.Пти (1791–1820)).

Для применимости теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы не имеет значения, сколько атомов содержится в мо-

лекуле, т.е., если на один атом в среднем приходится энергия 3kT, то на n- атомную молекулу придется в среднем 3nkT=3nRT, откуда молярная теплоемкость соединения равна сумме молярных теплоемкостей элементов, из которых оно состоит:

Джоуля–Коппа, хотя иногда его называют правилом Неймана–Коппа

(1844 г. Д.П.Джоуль (1818–1889), 1864г. Г.Ф.М. Копп (1817–1892), Ф.Э.

Нейман (1798–1895)). Формулы (15.1) и (15.2) ограниченно справедливы.

170