lection_part1-2

лезной массе m=20 тонн (т). Для сравнения: масса Метагалактики (доступной обнаружению современными методами радиоастрономии части Вселенной) по приблизительным оценкам М≈1053 кг.

ЛЕКЦИЯ 3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

1.Работа силы, мощность.

2.Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия. Закон сохранения механической энергии. Графическое

представлениеэнергии. Коэффициентполезногодействия(КПД). 3. Теория удара.

3.1.Работа силы, мощность

Вкачестве единой количественной меры различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий в физике вводится скалярная величина – энергия.

Вмеханике рассматривают механическую энергию (энергию механического движения и механических взаимодействий). Для количе-

ственного описания обмена энергии между телами используют понятие

работа силы. Элементарной работой δA силы F на малом перемещении drr точки О приложения силы называется скалярное произведение:

α – угол между направлением действия силы F и направлением перемещения dr (или v ).

Если угол α–острый, то δA>0 и сила ускоряющая, если угол α–

тупой, то δA<0 и сила тормозящая (трения, например). Переход (*) в уравнение (3.1) справедлив в силу равенства ∆t = dt → 0 drr = ds . Из

уравнения (3.1) следует, что сила не совершает работу, если точка приложения силы неподвижна ( drr = 0 ) и если сила направлена перпенди-

кулярно (по нормали) к траектории ( F vr).

21

Таким образом, работа силы на участке траекторий от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных, бесконечно малых участках:

Геометрически работа – это площадь под кривой (рис. 3.1).

тенциальной (консервативной), если ее работа зависит только от начального и конечного положений тела и не зависит от формы ее траектории. Для таких сил интеграл по замкнутому контуру L равен

→ →

A = ∫ F dr = 0. Для диссипативных сил работа зависит от формы тра-

L

ектории при перемещении тела (сила трения).

3.2. Механическая (кинетическая и потенциальная) энергия. Закон сохранения механической энергии. Графическое представление энергии. Коэффициент полезного действия (КПД)

Кинетическая энергия (КЭ) системы – это энергия механического

движения этой системы. Сила F , действующая на покоящееся тело и вызывающая его движение, совершает работу; энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA си-

22

лы на пути, который тело проходит от нулевой скорости до скорости v , идет на увеличение КЭ тела Т:

Кинетическая энергия Т является функцией состояния движе-

ния тела. Поскольку скорость v зависит от выбора СО, КЭ тела в различных инерциальных системах отсчета (ИСО) имеет разные значения,

определяемые согласно теореме Кёнига: КЭ системы материальных то-

чек равна сумме КЭ всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и КЭ той же системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Потенциальная энергия (ПЭ) – это механическая энергия систе-

мы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил

взаимодействия между ними.

Телу присуща потенциальная энергия U, если оно находится в поле потенциальных (консервативных) сил. Работа консервативных сил на элементарном перемещении равна приращению энергии U, взятому со знаком «–», так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии (зная U=f(r), можно определить модуль и направление силы F):

→→

тогда U = −∫F d r +const , т.е. энергия U определяется с точностью до не-

которой произвольной постоянной, но это не влияет на физические законы, так как в них, обычно, входят или разность энергий, или их производные по координатам. Нулевой уровень ПЭ выбирается произвольно из соображений удобства, поэтому может быть как больше, так и меньше нуля. Согласно уравнению (3.4) для консервативных сил можно записать:

→

U (набла) и называется оператором Гамильтона или набла-оператором; i , j,k – единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции U=f(r) зависит от характера силового

поля. Так, тело, находящееся на высоте h<<RЗемли от поверхности земли в поле сил тяготения, обладает потенциальной энергией:

23

где Атяготконсерв - работа консервативных сил тяготения. Энергия же сил тяготения отрицательна:

Подобно выражению (3.6) находится работа переменной силы тяжести при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли, сравнимое по величине с RЗемли, с учетом того, что сила и перемещение противонаправлены.

Аналогично, при упругих деформациях, деформирующая сила по

III закону Ньютона равна по величине упругой силе kx. Элементарная ра-

Потенциальная энергия системы является функцией ее состояния. Она зависит только от взаимного расположения тел (конфигура-

ции) системы и от ее положения по отношению к внешним телам. Полная энергия тела складывается из его кинетической и потенци-

альной энергий: E=T+U.

Рассмотрим систему материальных точек массами m1,…,mn, движущихся со скоростями v1,...,vn . Обозначим равнодействующие внутренних

→ →

консервативных сил F1,..., Fn , а внешних консервативных сил – F1/ ,..., Fn/ ;

→ →

внешние неконсервативные силы обозначим f1 ,..., fn .

При v<<c массы тел не меняются и уравнения II закона Ньютона имеют следующий вид:

24

Двигаясь под действием сил, материальные точки за время dt пере-

→→

мещаются на расстояние dr1,..., drn . Умножим уравнения (3.8) на соответствующие перемещения (для i-го случая):

Переход системы из состояния 1 в состояние 2. (3.10) – закон изме-

нения механической энергии.

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

E=T+U=const. (3.11)

Формула (3.11) – закон сохранения механической энергии: в системе тел, на которые действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, то есть не изменяется со временем (нет ее диссипации, т.е. рассеяния).

При этом может возникнуть вопрос: "А как же быть с внешними консервативными силами?" Ответ: "Если внешние консервативные силы нескомпенсированы, то в систему включают тела, воздействующие этими силами, т.е. такие силы можно сделать «внутренними»".

Закон сохранения энергии является следствием фундаментального свойства времени – однородности. Однородность времени заключается в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Во многих случаях потенциальная энергия является функцией только одной координаты U=U(x). График зависимости U от какого-то одного аргумента называется потенциальной кривой.

25

Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела. Особый случай представляют консервативные и замкнутые системы, в которых

E=U+T=const.

Например, на рис. 3.2 приведено графическое представление потенциальной энергии тела в поле сил тяготения, с учетом уравнения (3.6) тангенс угла наклона зависит от массы тела: tgα=mg.

Для ПЭ (рис. 3.3) сжатой пружины функция U(x) имеет вид параболы В точках ± xm – ПЭ достигает максимума (КЭ Т=0). Система не может выйти за пределы ± xm; говорят, что она находится в потенциальной яме.

В общем случае функция U(x) может иметь сложный график (см., на-

пример, рис. 3.4).

U E

-xm 0 +xmx

Рис. 3.3

Частица, обладая энергией E, как показано на рисунке, может находиться только в областях II и IV. Перейти из области II в область IV частица не может: область III является потенциальным барьером, для преодоления которого частице надо сообщить дополнительную энергию (U1-E). В

точке минимума производная dU/dx=0, т. е. в этой точке находится положение равновесия.

26

Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение полезной (для какой-то практической цели) совершенной работы (энергии) ко всей работе, совершенной системой (к поступившей в систему

энергии):

U

U1

E

Рис. 3. 4

3.3. Теория удара

Удар абсолютно упругих и неупругих тел является ярким примером выполнения законов сохранения импульса и энергии. Под ударом

(столкновением) в физике понимают взаимодействие тел при их сближении, которое длится очень короткое время, и условии, что на достаточно большом расстоянии тела можно рассматривать как свободные.

В механике рассматривают удары, предполагающие контакт между телами (удары бильярдных шаров, метеорита о землю, попадание пули в

тележку с песком). Ударные Fудар dp/dt=∆p/∆t (или мгновенные (∆t мкс))

силы взаимодействия между соударяющимися телами столь велики, что

внешними силами можно пренебречь и считать для таких систем законы сохранения импульса и энергии выполненными. Тела во время удара испытывают деформации (упругие или неупругие). КЭ тел во время удара преобразуется в ПЭ упругого соударения, а затем частично или полностью вновь переходит в КЭ. Плоскость контакта называется плоскостью удара, а прямую, ей перпендикулярную и пересекающую ее в точке соприкосно-

вения, называют линией удара. Если линия удара параллельна скоростям сталкивающихся тел, удар называется прямым; если эта линия проходит через центры сталкивающихся тел, удар называют централь-

ным. Скорость тел не достигает своего прежнего значения после удара. Отношение нормальных составляющих скорости после и до удара

называют коэффициентом восстановления (скорости): ε = vn/ vn . Если ε=0 – абсолютно неупругий удар (АНУ), ε=1 – абсолютно упругий удар

27

(АУУ). Для шаров из слоновой кости коэффициент ε=0,89, из стали –

ε=0,56, а для свинцовых – ε=0,01 т.е. для реальных тел 0<ε<1.

Рассмотрим применение законов сохранения для прямого центрального удара двух шаров.

Абсолютно упругий удар (АУУ). Пусть v1 и v2 – скорости тел до, а v'1 и v'2 – после удара (рис. 3.5). В случае, если скорость v2 направлена навстречу v1 , в формулах ниже учитывают, что проекция скорости v2 будет равна v2 и все рассуждения остаются верными.

Для АУУ выполняются законы сохранения импульса (так как импульс – векторная величина, то записан в проекции на ось Ох) и энергии:

откуда получаем

28

б) m1>m2, тогда v1′ > 0,v2′ > 0 (оба мяча движутся в направлении ско-

рости первого мяча до удара);

в) m1<m2, тогда v1′ < 0,v2′ > 0 (первый мяч отскочит от второго);

г) m1<<m2, тогда v1′ ≈ v1,v2′ ≈ 0 (мячик отскочит от стены, см. рис.

3.6, pстены − m1v1 = m1 pстены = 2 pмяча)

ν1

ν1/ x

Рис. 3.6

Рассмотрим частный случай: АУУ – непрямой нецентральный удар при ν2=0 и m1<<m2 (мяч ударяется о стенку, см. рис. 3.7). Для определения импульса, переданного стене, воспользуемся результатами пункта г) решения предыдущего примера с учетом проекций импульса на ось Ох. В данном случае:

29

рстены(Ox) = 2 рмяча(Ox) = 2m1v1 cosα .

Равенство углов падения и отражения в рассматриваемом случае следует из закона сохранения механической энергии при АУУ.

ν1

α

α x

ν1/

Рис. 3.7

В случае нецентрального удара частицы разлетаются под углом, причем угол, на который изменяется направление скорости налетающей частицы, называется углом рассеяния.

При m1=m2 угол рассеяния – прямой, при m1<m2 угол рассеяния любой (даже рассеяние назад), при m1>m2 тяжелая частица не может откло-

ниться на угол, превышающий ϕ = arcsin m2 . m1

Рассмотрим частный случай: АУУ – прямой нецентральный удар при ν2=0 и m1=m2=m (шары в бильярде, см. рис. 3.7).

Из формул (3.13) и (3.14) имеем: v1 = v1′cos β + v2′ cosα и

v12 = (v1′)2 + (v2′ )2 (*), из треугольника скоростей (рис. 3.8) по теореме косинусов:

v12 = (v1′)2 + (v′2 )2 + 2v1′v′2 cos[180o −(α + β)],

442443

(*)

откуда с учетом (*) 2v1′v′2 cos[180°-(α+β)]=0, cos[180°-(α+β)]=0 и

α+β=90°, т.е. при прямом нецентральном ударе бильярдные шары разле-

тятся под прямым углом.

30