lection_part1-2

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Следует помнить о различии в общем случае изменения пути и координат(ы): не всегда s(t) = x(t) − x0 .

аксиальными (axse – лат., axis – англ.) векторами (псевдовекторами). Направление их связано с поступательным движением винта,

закручиваемого слева направо вращением тела по окружности (правого винта). Эти скользящие вектора не имеют строго определенной

11

r r r

точки приложения, в отличие от полярных векторов v,a, p, F , и

могут быть отложены из любой точки на оси вращения (рис. 1.3): dϕ (характеризующий угол поворота), ω и ε (угловые скорость и ускорение).

Можно провести сопоставление угловых (при вращательном - ϕ,ω,ε ) и линейных (при поступательном движении – s,v, a ) величин.

ренном вращении вектора ε сонаправлен с вектором ω, а при равнозамедленном – противонаправлен.

С учетом равенства ∆s = ∆ϕ r имеют:

Рис. 1.3

Согласно формулам (1.1) и (1.2), получают: aτ = dvdt = d(drtω) = r ddωt = r ε

12

иan = vr2 =ω2 r .

При вращении тела относительно неподвижного начала (точки, оси) все его точки движутся с равными угловыми скоростями

ω = v1 = v2 = const , но с различными линейными. r1 r2

При равномерном вращении его характеризуют периодом T и час-

тотой n вращения. Период – время поворота на угол 2π: T = 2ωπ , а час-

тота – число полных оборотов в единицу времени: n = T1 = 2ωπ .

Аналогично (см. формулы (1.3) и (1.4), сопоставляя s-ϕ, ω-v, ε-ar) можно получить для равнопеременного вращения по окружности зависи-

мости ω =ω0 ±εt,ϕ =ω0t ± ε 2t2 .

ЛЕКЦИЯ 2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

1.Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимосвязь. Силы в природе.

2.Закон сохранения импульса.

3.Центр масс.

4.Движение тела переменной массы. Уравнения К.Э. Циолковского

иИ.В. Мещерского

2.1.Законы Ньютона, их физическое содержание и взаимосвязь. Силы в природе

Динамика является основой механики. Уравнения движения (кинематика) и условия равновесия тел (статика) могут быть получены из законов динамики И. Ньютона (1643 – 1727гг.), опубликованных им в 1687г. в

труде «Математические начала натуральной философии».

Законы Ньютона – это обобщение большого количества эмпирических (опытных) данных. Они являются базой классической динамики и обычно рассматриваются совместно.

Первый закон Ньютона: "Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние".

13

I закон Ньютона: если внешние силы отсутствуют или их действие на материальную точку скомпенсировано, то эта точка сохраняет состояние покоя равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не выведет ее из этого состояния.

Свойство тел сохранять скорость называется инерцией. I закон Ньютона называется законом инерции. Он утверждает, что для поддержания равномерного движения не требуется внешних воздействий.

Механическое движение относительно в том смысле, что харак-

теристики движения тела зависят от выбора СО. Системы, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными системами отсчета (ИСО). I закон Ньютона утверждает их существование.

С высокой точностью инерциальной является гелиоцентриче-

ская (солнечная) СО. Оси могут быть проведены к удаленным звездам. Очевидно, «земные» задачи механики – такие, как полет мяча, столкновение бильярдных шаров, весьма неудобно решать в гелиоцентрической ИСО. Немногим проще описание в СО, связанной с Землей – геоцентрической. Однако чаще мы вынуждены использовать СО, связанную с поверхностью Земли. Систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, называют земной или лабораторной. Неинерциальные эффекты, связанные с суточным вращением Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, малы, так что ими обычно пренебрегают.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях разные тела по-разному изменяют характер своего движения, то есть приобретают различные ускорения. Таким образом, ускорение зависит не только от воздействия, но и от свойств тела (массы).

Масса (m) – одна из основных характеристик материи, характеризует инертные свойства тел (mин – инертная масса) и способность тел участвовать в тяготении (mгр – гравитационная масса). Их эквивалентность доказана в общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна в четырехмерном пространстве (пространство-время). Различие появляется при переходе к обычному трехмерному пространству (см. лекция 5, п.3.):

mгр − mин ~ 10−12 . mгр

Для характеристики взаимодействия тел вводят понятие силы. Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело либо изменяет свою скорость (динамическое проявление силы), либо деформируется (статическое проявление силы). Единица измерения силы

кгс2 м = [Н](ньютон).

14

Поле – особая форма материи, связывающая частицы вещества или тела в единые системы и передающая с конечной скоростью воздействие тел друг на друга (так называемая «гипотеза близкодействия»).

Второй закон Ньютона: "Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует".

II закон Ньютона определяет характер изменения движения тела под

i

В системе СИ: F = mar.

II закон Ньютона – основной закон динамики поступательного дви-

жения. Его можно представить в виде: Fr = m ddtv = d(dtmv )= ddtp , так как

в ньютоновской (классической) механике т<<c (с – скорость света в вакууме), т.е. m = const . Величина p = mv называется импульсом (количе-

ством движения) тела.

Третий закон Ньютона: ”Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга ме-

ждусобойравныинаправленывпротивоположныестороны” : F12 = F21 .

III закон Ньютона позволяет перейти от динамики одного тела к динамике системы тел. Многообразие взаимодействий в системе можно свести к попарным взаимодействиям.

Y

В ряде случаев III закон Ньютона не применим, т.к. предполагает «мгновенность» взаимодействия, т.е. не учитывает конечность скорости распространения воздействия одного тела на другое.

15

В механике рассматривают различные силы – трения, упругости, тяготения (тяжести). Силы, о которых идет речь в III законе Ньютона, – это всегда силы одной природы.

Если на тело действуют несколько сил, то каждая из них сообщает телу ускорение. В этом заключается принцип независимости действия сил, поэтому во многих задачах (рис. 2.1) движение может быть разделено покоординатно (II закон Ньютона записывается в проекциях):

OY: N − mg = 0 ,

где g – ускорение свободного падения (g≈9,81 м/с2);

ОХ: Fтяги − Fтр = ma ,

На практике вводится род особых сил – реакция связи (силы натяжения, реакция опоры (N) и т.д.). В этом заключается принцип освобождаемости тел. Свободными называются тела, перемещению которых ничего не препятствует. В ряде случаев тело можно «освободить», заменив действия ограничивающих его движение тел спецсимволами – реакциями связи.

Силы трения – силы, препятствующие движению соприкасающихся тел относительно друг друга, которые могут проявляться как в состоянии

покоя (равновесия тела) (Fтр.покоя), так и в состоянии движения

(Fтр.скольжения, Fтр. качения, Fтр. верчения). Сила трения изменяется от нуля до не-

которого максимального значения, которое обычно считают равным си-

ле трения скольжения. В результате действия сил трения механическая энергия преобразуется во внутреннюю энергию (теплоту).

Силы трения обусловлены шероховатостью и деформацией поверхности и силами межмолекулярного взаимодействия. Сила трения скольжения, согласно закону Кулона–Амонтона, равна:

Fтр = µ(N + Sp0 ) , где S – площадь соприкосновения; p0 ~ r−7 – дополни-

тельное давление, обусловленное силами межмолекулярного взаимодействия, резко убывает с увеличением расстояния (об этом см. подробнее в разделе «Молекулярная физика и термодинамика»); µ – коэффициент тре-

ния скольжения; N – сила реакции опоры, поэтому Fтр ≈ µN .

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (вязкое) трение. Вязкое трение делится на гидродинамическое (толстый слой смазки) и гранич-

ное (тонкий слой смазки, менее 1 мкм).

Коэффициент трения скольжения µ = tgα (безразмерная вели-

чина), где α – угол наклона, при котором одно тело съезжает по другому. Сила трения качения возникает из-за деформации материала перед катящимся телом и из-за разрыва временно образующихся молекулярных связей в месте контакта. Сила трения качения по закону Кулона:

Fтр = µк Nr (µк имеет размерность). µк << µ , но при больших скоро-

16

стях качения, сравнимых со скоростью распространения деформации в сре-

де (скорость звука в веществе), сила трения качения резко возрастает.

2.2. Закон сохранения импульса

Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между телами системы называются внутренними. А силы, действующие на тела системы со стороны внешних тел, называются внешними. Замкнутой называется система тел, на которую не действуют внешние силы.

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих на i-е тело,

→→

→

сила), так как ∑Fi / = 0 согласно III закону Ньютона.

i

→

Для замкнутой системы F = 0, p = const . В этом содержание

закона сохранения импульса – фундаментального закона природы. Он

является следствием однородности пространства, которое заключается в том, что при параллельном переносе физической системы на любое расстояние ее физические свойства и законы движения не меняются.

2.3.Центр масс

Вклассической механике из-за независимости массы от скорости, импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс (центра инерции).

Центром масс системы называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы в системе. Её радиус-

17

1

С1

С

С2 2

Рис. 2.2

Центр масс сложного тела не обязательно лежит внутри тела (системы тел), но он всегда находится внутри многогранника, получаемого при соединении крайних точек тела (системы).

Если тело состоит, например, из двух частей (рис. 2.2), то центр масс лежит на линии, соединяющей центры масс его частей, т.е. можно найти центр масс 1-й и 2-й частей, а затем определить положение центра масс системы на этой линии как для двух материальных точек, находящихся в точках С1 и С2 и обладающих всей массой этих частей m1 и m2 соответственно.

Пример расчета для системы материальных точек. Пусть даны три материальные точки массы m, жестко скрепленные между собой невесомыми стержнями длины d (рис. 2.3). Определить координаты центра

(масс) инерции системы.

Y m

Рис. 2.3

18

Если однородное тело обладает центром, осью или плоскостью симметрии, то центр масс находится соответственно в центре симметрии, на оси или в плоскости симметрии.

чаем, что изменение импульса системы равно: d p = F dt . Таким образом,

центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется прямо-

линейно и равномерно. Если центр масс покоится, то система либо полностью покоится, либо участвует во вращательном движении относительно оси, проходящей через ее центр масс.

2.4. Движение тела переменной массы. Уравнения К.Э. Циолковского и И.В. Мещерского

В некоторых случаях движение тел сопровождается изменением их массы. Рассмотрим движение системы ракеты и газа (рис. 2.4). Если в момент времени t масса ракеты m, а скорость v , то спустя время dt (m–dm) –

масса уменьшается, а скорость увеличивается (v + dv ).

v

u

Рис. 2.4

19