3.3. Позиционные задачи с прямыми и плоскостями

Задачи, в которых определяют расположение элементов пространства между собой, называют позиционными. Рассмотрим следующие:

1. Пересечение прямой и плоскости (основная позиционная задача).

2. Пересечение двух плоскостей.

3.3.1.Основная позиционная задача

Точка К - это точка пересечения прямой l с проецирующей плоскостью  (рис.28,а).

Задача упрощается, так как плоскость  - горизонтально-проецирующая и горизонтальная проекция К₁ точки К определяется пересечением проекций прямой и плоскости l₁∩(А₁В₁С₁)=К₁. Фронтальную проекцию К₂ находим по принадлежности (К₂l₂ ); Решение задачи на эпюре приведено на рис.28,б.

Рис. 28

3.3.2. Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Рассмотрим случай пересечения прямой l общего положения и плоскости общего положения  заданной АВС. Через прямую l вводим вспомогательную плоскость Ф, перпендикулярную П₁. Ф₁ совпадает с l_1. Плоскость Ф пересекает АВС по прямой 1-2, горизонтальная проекция которой также совпадает с l_1. Определив по принадлежности к АВС фронтальную проекцию прямой 1-2, находим в пересечении её с l₂ фронтальную проекцию точки К (К₂), ( рис.29,а,б).

Видимость линии l относительно плоскости АВС определяем на эпюре с помощью конкурирующих точек.

Подбор вспомогательных плоскостей проводят с таким расчетом, чтобы построения были наиболее простыми. На рис. 29 в приведены решения основной позиционной задачи в аксонометрии (прямоугольная изометрия).

На плоскости построим проекции плоскости и линии ( ), а потом в просторные и (Е',F'), которая перпендикулярная П₁ и

п роходит через проекции E₁,F₁ прямой l находим ( ) проекцию линии пересечения (Ф₁ и ). Выстроив ее (1'2' ) на , находим точку К' пересечения прямой l' с плоскостью.

Ф '

O

Рис. 29 в

3.3.3. Взаимное пересечение плоскостей

Поскольку две плоскости пересекаются по прямой линии, то построение линии пересечения двух плоскостей сводится к определению двух точек, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. На рис.30 показано построение линии пересечения двух плоскостей общего положения, заданных АВС и DEF.

Решение этой задачи сводится к определению двух точек пересечения плоскостей с не принадлежащими им прямыми.

Прямая, соединяющая эти точки, принадлежит обеим плоскостям и является линией их пересечения. Видимость сторон треугольников определяем с помощью конкурирующих точек.

Алгоритм

1. АВ∩(∆DEF)

ФП₂; АВ  Ф;

А₂В₂≡Ф₂ ; Ф∩(∆DEF)=(1-2)

(1₂, 2₂) ≡A₂B_{2 ;}

(1₂2₂) → (1₁,2₁);

(1₁,2₁) ∩ А₁В₁=K₁; K₁ → K₂;

2. EF∩∆ABC

Σ  П₂; Σ  EF;

Σ₂≡E₂F₂; Σ (∆ABC)=3.4 (3₂,4₂);≡E₂F₂

(3₂,4₂) → (3₁,4₁);

(3₁,4₁) ∩ E₁F₁=M₁; M₁ →M₂

3. K₁  M₁ = K₁ M₁; K₂  M₂ = K₂ M₂; ∆ABC ∩ ∆DEF≡KM

3.3.4 Прямая линия, перпендикулярная плоскости

Вначале рассмотрим теорему о проецировании прямого угла: если одна сторона прямого угла параллельна одной из плоскостей проекций (линия уровня), а вторая не перпендикулярна этой плоскости, то при ортогональном проецировании прямой угол отображается на этой же плоскости в прямой угол.

Пусть дан прямой угол АВС (АВВС), у которого сторона АВ  П₁. Проецирующая плоскость ΣП₁ проведена через прямую ВС. Значит АВΣ, так как А′В′ В′С′ ; А′В′В′ В₁, то А₁В₁ В₁С₁ ; А′ В′ В₁С₁ тогда следует что А₁В₁ В₁С₁ и угол между А₁В₁ и В₁С₁ равен 90º.(Рис. 31 а)

Как известно, прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому, если некоторая прямая n перпендикулярна плоскости Σ, то она перпендикулярна ко всякой горизонтали h и фронтали f этой плоскости, т. е nh и n f, следовательно на эпюре (рис.31б) проекции прямой n перпендикулярны одноименным проекциям линий уровня этой плоскости: n₁h₁ и n₂ f₂.

Рис. 31

Задача. Построить перпендикуляр n из точки М к плоскости ∆АВС (рис.32).

Рис. 32

Построим h(h₁,h₂) и f (f₁,f₂) в ∆АВС, через точку М строим перпендикуляр n(n₁ h_1; n₂ f₂ ). Определяем точку пересечения прямой n с ∆АВС – т. К; соответственно (М₁K₁ и М₂ K₂)- проекции перпендикуляра из точки М к плоскости АВС.