8.2. Способ секущих концентрических сфер

Условия применения этого способа следующие:

1. Должны пересекаться поверхности вращения.

2. Оси этих поверхностей должны пересекаться и находиться в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций.

С пособ секущих концентрических сфер базируется на свойстве сферы пересекаться с поверхностью вращения по окружности, если центр сферы находится на оси вращения. Если оси вращения параллельны плоскости проекций, то эти окружности проецируются в прямые, перпендикулярные оси вращения, и проводятся через точки пересечения контуров поверхностей (рис.71, 72).

Рис. 71

Рис. 72

Рассмотрим применение способа секущих концентрических сфер на примере пересечения прямого конуса вращения с прямым цилиндром вращения (рис.73).

1. Фронтальная плоскость Ф, полученная пересечением двух осей вращения поверхностей, перерезает их по контурным образующим, которые пересекаются в явных опорных точках 1,2,3,4.

2. Принимаем посредниками концентрические сферы, которые строятся из точки О пересечения осей вращения поверхностей. Построение линии пересечения начинают с определения минимального и максимального радиусов (R_min, R_max) вспомогательных сфер.

R_min равняется размеру наибольшего из перпендикуляров, проведенных к контурным образующим поверхностям из точки пересечения осей (то есть

минимальная сфера должна быть вписана в одну из поверхностей, а другую - пересекать). R_min= О₂К₂.

R_max равняется расстоянию до наиболее отдаленной точки линии пересечения (R_max=О₂2₂=О₂4₂).

3. Проводим сферу R _min, касательную к цилиндру. (Проекция окружности касания – прямая) и пересекающую конус по окружностям, фронтальные проекции которых - прямые. Пересечение этих прямых дает точки 5₂,6₂,7₂,8₂.

4. Проводим еще одну вспомогательную сферу радиусом R_max> R> R_min, чтобы определить промежуточные точки 9,10,11,12.

5. В данном случае имеем две линии пересечения - линию входа и выхода. По фронтальным проекциям точек находим горизонтальные проекции точек с помощью параллелей конуса.

Соединив плавной кривой линией фронтальные проекции точек, получим фронтальную проекцию линии пересечения, а соединив в том же порядке с учетом видимости горизонтальные проекции точек, получим горизонтальную проекцию линии пересечения двух поверхностей.

Рис. 73

8.3. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

П ри некоторых условиях пространственная кривая четвертого порядка линии пересечения поверхностей второго порядка распадается на несколько линий более низкого порядка. Например, при пересечении двух цилиндров (вращения и эллипсоидного), имеющих общую ось, получаются четыре проецирующих прямых (рис.74).

Рис. 74

Теорема Монжа. Если две поверхности второго порядка, вписаны или описаны вокруг третьей поверхности второго порядка (например, вокруг сферы), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий прикосновения.

П ри пересечении двух цилиндров одинакового диаметра, оси вращения которых пересекаются, и в них вписана общая сфера, получаются два эллипса. Фронтальные проекции эллипсов - прямые, соединяющие точки пересечения контурных образующих поверхностей (рис.75).

П ри пересечении цилиндра и конуса вращения, в которые вписана общая сфера, также получаются две плоские кривые - два эллипса, которые на фронтальную плоскость проекций проецируются в прямые (рис.76).