18.Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.

Односторонние пределы. Понятие предела функции

Пусть на множестве Е, для которого точка а является предельной(сама точка а может не принадлежать Е) задана функция f(x). В дальнейшем в качестве Е мы будем брать множество простой структуры:

рвал(а, в), отрезок[а, в], вся числовая ось(числовая прямая)(-∞;+∞),открытая полупрямая(а;+ ∞) и т.п.

Определение по Коши. Пусть функция f определена в окрестности точки а. число А называется пределом функции f в точке а, если для любого ε>0 найдется такое δ,зависящее от ε,что из условия 0<│а-х│< δ следует неравенство │f(x)-А│< ε.

При этом записывают limx>а f(x)=А или f(x)> А при х>а.

Основной смысл определения заключается в следующем. Из того, что х мало отклоняется от а следует, что f(x) мало отклоняется от А. Необходимо при этом подчеркнуть, что вначале мы задаем произвольно малое ε, меньше которого хотим сделать отклонение │f(x)-А│, затем по ε находим δ такое, что принадлежность хЄ(а-δ,а)U(а,а+δ) гарантирует отклонение │f(x)-А│< ε.

Пример функция f(x)=(х²-4)/(х-2)определена для всех х≠2. если х≠2, то f(x)=х+2. Так как по определению мы х берем отличным от ,в данном случае х отлично от 2,то limx>2(х²-4)/(х-2)= limx>2(х+2)=4.

Малое отклонение│2-х│дает малое отклонение │(х²-4)/(х-2)-4│. Второе определение предела функции дадаим на языке последовательностей.

Определение по Гейне. Число А называется пределом функции в точке а ,если она определена в некоторой окрестности точки а за исключением, может быть, самой точки а и если для любой сходящейся к числу а последовательности {хn},такой, что для всех n х≠а существует предел последовательности{ f(хn)},равный числу А, т.е. limxn>а, xn≠а f(x)=А. Здесь считается, что сходящаяся к а переменная хn пробегает те значения, для которых f(x) определена. Докажем, что определения Ι-е и ΙΙ-е эквивалентны.

Определение. Односторонние пределы .

Число b называется правым (левым) предельным значением функции f(x) в точке х = а, если для любой сходящейся к а последовательности х1,х2,... , x_n , ... значений аргумента х, элементы x_n которой боль­ше (меньше) а, соответствующая последовательность f(х1), f(х2), ... , f(x_n), …значений функции сходится к b.

Для правого предельного значения функции используется обозначение

lim x>a+0 f(x) =b или f(a + 0) = b.

Для левого предельного значения употребляется обозначение

lim x>a-0 f(x) = b или /(a - 0) =b.

В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = sgn x. Эта функция имеет в нуле правое и левое предельные значе­ния, причем sgn(0 + 0) = 1, а sgn(0 — 0) = —1 В самом деле, если {х_п} — любая сходящаяся к нулю последовательность зна­чений аргумента этой функции, элементы x_n которой больше нуля (x_n > 0), то sgn x_n = 1 и поэтому lim n>∞ sgnx_n = 1. Таким образом, справедливость равенства sgn(0 + 0) = 1 установлена. Аналогично доказывается, что sgn(0 — 0) = — 1.

Замечание. Если в точке а правое и левое предельные значения функции f(x) равны, то в точке а существует предельное значение этой функции, равное указанным односторон­ним предельным значениям. Этот наглядный факт мы снабдим доказател ьством.

Пусть {х_п} — любая сходящаяся к а последовательность зна­чений аргумента функции f(x), элементы которой не равны а. Пусть {xk_m} — подпоследовательность этой последовательно­сти, состоящая из всех больших а элементов последовательно­сти {x_n}, а {xl_m} — подпоследовательность, состоящая из всех меньших а элементов последовательности {x_n }( Мы исключаем из рассмотрения случай, когда у последовательности {х_n} лишь конечное число элементов лежит правее (левее) точки а. В этом случае сходимость {f(x_n)} очевидна.). Так как в подпоследовательности {xk_m} и {xl_m} сходятся к а, то из существования правого и левого предельных значе­ний функции f(x) в точке а вытекает, что последовательности {f(xk_m)} и {f(xl_m)} имеют пределы, которые по условию рав­ны. Пусть b — предел этих последовательностей. Для любого ε> 0 можно указать номер N такой, что все элементы после­довательностей {f(xk_m)} и {f(xl_m)}, для которых к_m ≥ N и lm ≥ N, удовлетворяют неравенствам \f(xk_m) — b\ < ε и \f(xl_m) — b\ < ε . Следовательно, при n≥N выполняется неравенство |f(x_n) — Ь\ < ε , т. е. последовательность {f(x_n)} сходится к b. Тем самым доказано, что предельное значение функции f(x) в точке а существует и равно b.

Сформулируем определения предельного значения функции при стремлении аргумента х к бесконечности и к бесконечности определенного знака.

Будем считать, что множество {х}, на котором задана функ­ция f(x), для любого А > 0 имеет хотя бы один элемент, лежа­щий вне сегмента [—А, +А].