14.Теорема Больцмана-Вейерштрасса

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность

Доказательство: Так как последовательность {Xn} ограничена, то существует отрезок [a,b] такой, что ему принадлежат все значения элементов Xn n=1,2.... Мы будем говорить, что ему принадлежат все элементы Xn. Разделим [a,b] пополам. По крайней мере один из полученных отрезков содержит бесконечно много элементов. Обозначим его [a1,b1] и выберем из него Xn1. Затем разделим [a1,b1] на два равных и снова хотя бы один из них содержит бесконечно много элементов из {Xn}. Обозначим его [a2,b2] и пусть Xn2[a2,b2] и т.д.Полученная подпоследовательность сходящаяся, так как отрезки [aк,bк] вложены друг в друга и стягиваются bk-ak=(b-a)/2^k0 при к. По лемме о стягивающихся отрезках существует единственная точка Х, принадлежащая всем этим отрезкам. Таким образом lim aк = lim xn = lim bk = x. Теорема доказана.

Замечание 1: Из каждой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.

Замечание 2: Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

15. Критерий Коши сходимости последовательности

Определение: Последовательность {X} называется фундаментальной, если для любого E>0 найдется номер NE та­кой, что для всех номеров n>=NE и для всех натуральных p=1,2… выполняется неравенство |Xn+p-Xn|<E При нахождении предела (d, последовательности {Xn} нам приходится вначале предположить (угадать) предел а , а потом оценивать разность Xn- a и этим убеждаться в справедливости предположений. Можно указать "внутренний" критерий сходимости, поз­воляющий судить о сходимости лишь по величине элементов последова­тельности. Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фун­даментальной. Доказательство : Необходимость. Пусть {Xn} имеет предел a . Здесь требуется доказать, что {Xn} является фундаментальной. Для любого E>0 найдётся номер №E такой, что |Xn- a|<E/2 и |Xn+p- a|<E/2 при n>=NE . Отсюда при n>=NE выполняется неравенство Xn+p-Xn|=|(Xn+p- a)-(Xn- a)|<=|Xn+p- a|+|Xn- a|<E\2+E\2=E и этим доказано, что последовательность фундаментальна. Достаточность. Пусть {Xn} фундаментальна. Здесь требуется доказать, что {Xn} имеет предел. Для удобства положим m=n+p. Сначала докажем, что последовательность {Xn} ограниченна. Назначим E=1 тогда найдется N1 такое что при всех n>=N1 и m>=N1 выполняется неравенство |Xn-Xm|<`1 и , в частности |Xn-XN1|<1 или XN1- 1<XN1+ 1. Это значит, что последовательность {Xn} ограниченна. Из ограниченной последовательности по теореме Больцано-Вейер-штрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть Xnk , при k->…. . Покажем, что Хn->a при n->…. Для произвольно малого E>0 существует такой номер КE , что при K>KE и nk>nkE. выполняется неравенство |Xnk- a|<E/2 .C другой стороны существует номер NE такой, что при n,m>NE выполняется неравенство |Xn-Xm|<E/2. Пусть N=max{NE,nkE}, тогда при n>N, nk>N |Xn- a|=|(Xn-Xnk)+(Xnk- a)|<=|Xn-Xnk|+|Xnk- a|<E/2+E/2=E Критерий Коши установлен.Пример. Является ли сходящейся последовательность {Xn} где Xn=1+1/2+1/3+….+1/n?

Решение. Если для любого E>0 найдется такое NE , что при n>N и любом p=1,2… будет выполняться неравенствo |Xn-Xn+p|<E

то Хn имеет предел. Если же для какого-либо E0>О не существует такого N, что при n>N и при Р=1,2… выполнялось бы неравенств |Xn-Xn+p|<E то в этом случае Xn предела не имеет (последовательность {Xn} не является фундаментальной). Имеем соотношения

|Xn-Xn+p|=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+p)>1/(n+p)+…+1(n+p)=p/(n+p)

Если взять E0= 1/4 то, положив р=n (мы вправе взять любое p) будем иметь p/(n+p)=n/(n+n)=1/2>1/4 , т.е. /Xn-Xn+p/>1/4

Условие Коши не выполняется, конечного предела нет.