- •2.Арифметические операции над комплексными числами:
- •3. Бином Ньютона. Метод математической индукции
- •4. Действительные числа
- •5.Принцип вложенных отрезков.
- •6. Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности.
- •7. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности
- •8. Сходящиеся последовательности
- •9. Предельный переход в неравенствах:
- •10.Теорема о 2-х милиционерах.
- •11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.
- •12.Число е
- •13. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.
- •14.Теорема Больцмана-Вейерштрасса
- •15. Критерий Коши сходимости последовательности
- •16. Понятие функции
- •17.Понятие элементарной функции.
- •18.Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.
- •19. Критерий Коши существования предела функции.
- •20. Свойства пределов функции в точке
- •21. Правило замены переменной для пределов функций.
- •22. Первый замечательный предел
- •24. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций.
- •25.Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Таблица эквивалентности
- •26. Теорема о пределе монотонных функций.
- •28. Разрывные функции. Классификация точек разрыва
- •29.Фунция непрерывная на отрезке
- •30. Теорема о достижении непрерывной функцией максимума и минимума на отрезке:
- •31.Теорема о непрерывной обратной функции
- •32. Равномерная непрерывность
- •33.Непрерывность элементарных функций.
- •34. Теорема о существовании верхней и нижней грани числового множества.
9. Предельный переход в неравенствах:
1. Если аn b ∀n>n0 и аn>a, то a b. a= n<b . Доказательство: пусть а>b, т.e. a-b>0. T.к. аn>a , то для έ=a-b>0. n1:∀nЄN1 n>n1=> |an-a|< a-b, выберем n2ЄN: n2>n1 , n2>n0, |an2-a|<a-b или
b-a<|an2-a|<a-b, b< an2
Если аn bn ∀nЄN1 n>n0 и аn>а, bn>b, то а b. Доказательство: 1) аn- bn 0 ∀nЄN, n>n0 согласно утверждению 1 имеем: a-b 0 или a b
Теорема о зажатой последовательности: если an xn bn ∀nЄN,n>n0 и an>a, bn>a, то xn>a.
Т.к. аn>a,то ∀ε>0 nε»:∀nЄN,n> nε»=>|an-a|<ε, т.е. –ε<|an-a|<ε или a-ε<an<a+ε.
Т.к. bn>a,то ∀ε>0 nε’:∀nЄN,n> nε’=>|bn-a|<ε или a-ε<bn<a+ε ∀ε>0 nε=max{ nε’, nε”, n0}. ∀nЄN,n>nε
a-ε an<xn bn<a+ε, a-ε<xn<a+ε, -ε<xn-a<ε, | xn-a|<ε
Сходящаяся последовательность имеет только один предел
Доказательство
a и b – пределы сходящейся последовательности { }.
Тогда, =a+ , =b+ ,
Следовательно - b –a
Так как все элементы бесконечно малой последовательности { } имеют одно и тоже постоянное значение b-a, то b-a = 0, т.е. b=a. Теорема доказана.
Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство: пусть {Xn} – сходящаяся последовательность и а – ее предел. Следовательно, имеем Xn=a+ n, где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность { } ограничена, то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство | |≤A. Поэтому |Xn|≤|a|+A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {Xn}. Теорема доказана.
10.Теорема о 2-х милиционерах.
Если начиная с некоторого номера последовательность Zn удовлетворяет следующему неравенству xn≤Zn≤yn , причем последовательность xn и yn являются сходящимися к одному и тому же числу а, то последовательность Zn заведомо тоже сходится, причем к тому же числу а. Доказательство: Если yn сходится к числу а и Zn сходится к числу а, то для любого >0 существует N2 такое что для любых n>N1; |yn-a|</2; |xn-a|</2 что |yn- хn |*|yn-a -xn+a |≤|yn-a|+|xn-a|≤ для любого существует N2: любое n>N2 . |xn-a|</2 .N>max(N1, N2)
11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.
Пусть для любого n=1,2... XnXn+1, если последовательность {Xn} ограничена сверху числом М, то существует то существует lim(n ) X=AM. Если же она не ограничена, то limXn=+.
Доказательство. Пусть неубывающая переменная Xn ограничена сверху числом М. Тогда существует точная верхняя грань. sup Xn=CM. Это значит что для всякого >0 должно найтись n=n такое, что С-<Xn. Но так как Xn не убывает, то для всех n>n выполняется неравенство неравенство XnXn, поэтому С-<XnC<C+ для n>n или |Xn-C|<, n>n, а по определению предела это значит lim(n ) Xn=C. Пусть теперь Xn не ограничена сверху. Тогда для любого М>0 найдется такое Xnо, что M<Xno. Но так как Xn не убывает, то для всех n>no будет M<Xno<Xn, а это означает что lim(n ) Xn=+
Пример: Доказать, что Xn=(a^n)/n!0 при n . Решение. Так как |a^n| = |a^n|
то достаточно рассмотреть случай a>0. |n!| n!
Пусть m-натуральное число, такое, что m+1>a. тогда: a^n < a^m * ( a )^n-m 0 при n
n! m! (m+1)