7. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного А, сколь большим мы бы его не взяли_, можно указать такой номер N=N(A), что при n≥N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству │ x_n │> A.

Очевидно что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку для любого А > 0 можно указать номер N такой, что при n > N все элементы последовательности удовлетворяют неравенству │x_n│> А а следовательно для любого А> 0 найдется хотя бы один такой элемент x_n что

│x_n│ > A. Однако ограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например неограниченная последовательность 1,2,1,3….1,n… не является бесконечно большой поскольку при А>1 неравенство │x_n│ > A не имеет места для всех x_n с нечетными номерами.

Определение 2

Последовательность {х_n} называется бесконечно малой если для любого положительного числа ε сколь малым м его не взяли можно указать такой номер N=N(ε) что при n≥N все элементы х_n этой последовательности удовлетворяют неравенству │ х_n │< ε

Примеры

1.Последовательность {1/n}^∞ _n=1 является бесконечно малой. Действительно для произвольного ε >0 мы выбираем номер N(ε)=[1/ε]+1 где [х] означается целую часть х, 1/ε=[1/ε]+γ где 0≤γ<1 и получаем неравенство 1/N(ε)=1/((1/ε)- γ-1))< ε. При n>N(ε) тем более будет выполняться 1/n<ε, что согласуется с определением 2.

2. Последовательность {qⁿ} при │ q │ < 1 является бесконечно малой. Зафиксируем произвольно малое ε>0. нужно выбрать N(ε) так чтобы │ q^N(ε) │= │q │^N(ε) < ε или (1/ │q │) ^N(ε)>1/ ε. Прологарифмируем это неравенство при основании логарифма больше 1.

N(ε)log1/ │q│>log1/ ε.

Выбираем N(ε)=[(log1/ ε) : (log1/ │q│) ^-1 ]+1 ,где [x] - целая часть х, тогда N(ε)=(log1/ ε)(log1/ │q│)^-1 + α ,где 0< α ≤1.

Отсюда получаем │q│^N(ε)= ε* │q│^α < ε ,а при n>N(ε) тем более │qⁿ│< ε.

3. Та же последовательность {qⁿ} при │ q │{qⁿ} при │q│ > 1 является бесконечно большой.

Зафиксируем A>0 как угодно большое. Выбираем N(A) так чтобы │q^N(A)│>A. Имеем │q^N(A)│= │q│^N(A) >A, отсюда N(A)log│q│>log A и номер N(A) выбираем по формуле N(A)=[(log A)(log (1/│q│)] +1 где [x] целая часть х. Натуральное число N(A) представимо в виде N(A)=(log A)(log (1/│q│)+α где 0<α≤1. отсюда

│q^N(A) │=│q│^N(A) > A и │qⁿ│>A при n ≥ N(A)

Cвойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей {α_n + β_n} есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство: пусть ε > 0 произвольно малое. По определению бесконечно малой последовательности для положительного ε / 2 найдется номер N(ε)’ такой, что при n> N(ε)’ будет выполнятся неравенство

│α_n│< ε / 2

Аналогично для ε / 2 найдется N(ε)’’ такое что при n> N(ε)’’ будет выполнятся неравенство

│β_n│< ε / 2

Тогда при n ≥ N(ε)=max {N(ε)’ , N(ε)’’} будут справедливы оба неравенства откуда имеем

{ α_n+β_n }≤│α_n│+│β_n│< ε/2 + ε/2=ε

А это означает что последовательность { α_n+β_n } является бесконечно малой.

2. Аналогично доказывается что разность { α_{n -} β_n } двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. В этом случае справедливо неравенство:

{ α_{n -} β_n } ≤ │α_n│+│β_n│

Из этих двух свойств следует что алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство: пусть {β_n } ограниченная а {α_n} бесконечно малая последовательность. Существует число A>0 такое что любой элемент β_n удовлетворяет неравенству │β_n│≤ А. Возьмем ε >0 как угодно малое. Так как {α_n} бесконечно малая то для положительного ε / А найдется номер N(ε) такой что при n>N(ε) получаем:

│β_n*α_n│= │β_n│* │α_n│< A*ε/A=ε.

Поэтому последовательность {β_n*α_n} – бесконечно малая.

4. Если все элементы бесконечно малой последовательности {α_n} равны одному и тому же числу С, то С=0

Доказательство: от противного положим С≠0. Возьмем ε = │с│/2. При n>N(ε) выполняется неравенство │α_n│< ε = │c│/ 2, но так как α_n = С n = 1,2,3…получаем противоречие │с│<│c│/ 2.

5. Если {x_n} бесконечно большая последовательность то начиная с некоторого номера n определена последовательность {1/x_n}которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности {α_n} не равны нулю то последовательность {1/α_n} бесконечно большая.

Доказательство: У бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно нулю ибо из определения бесконечно большой последовательности следует, что для данного А>0 можно указать номер N’ такой , что при n> N’ выполняется неравенство │x_n│> A. Докажем теперь что {1/x_n} бесконечно малая последовательность. Пусть ε > 0 любое. Для числа 1/ε можно указать номер

N(ε) ≥N’ такой что при n>N(ε) выполняется неравенство │x_n│/ (1/ε) поэтому начиная с указанного номера N будет выполняться │1/x_n│< ε.

Для доказательства второй части теоремы полагаем, что все элементы бесконечно малой последовательности {α _n}отличны от нуля. Берем произвольное А>0 и для 1/A существует номер N(A) такой что │α_n│< 1/A при n>N(A) или что то же самое │1/α_n│=1/│α_n│>A при n>N(A). это означает что {1/α_n} является бесконечно большой.

_____________________________________________________________________________________________