- •2.Арифметические операции над комплексными числами:
- •3. Бином Ньютона. Метод математической индукции
- •4. Действительные числа
- •5.Принцип вложенных отрезков.
- •6. Понятие числовой последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности.
- •7. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности
- •8. Сходящиеся последовательности
- •9. Предельный переход в неравенствах:
- •10.Теорема о 2-х милиционерах.
- •11. Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.
- •12.Число е
- •13. Подпоследовательности. Свойства. Верхний и нижний предел. Примеры.
- •14.Теорема Больцмана-Вейерштрасса
- •15. Критерий Коши сходимости последовательности
- •16. Понятие функции
- •17.Понятие элементарной функции.
- •18.Предел функции в точке. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.
- •19. Критерий Коши существования предела функции.
- •20. Свойства пределов функции в точке
- •21. Правило замены переменной для пределов функций.
- •22. Первый замечательный предел
- •24. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций.
- •25.Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов. Таблица эквивалентности
- •26. Теорема о пределе монотонных функций.
- •28. Разрывные функции. Классификация точек разрыва
- •29.Фунция непрерывная на отрезке
- •30. Теорема о достижении непрерывной функцией максимума и минимума на отрезке:
- •31.Теорема о непрерывной обратной функции
- •32. Равномерная непрерывность
- •33.Непрерывность элементарных функций.
- •34. Теорема о существовании верхней и нижней грани числового множества.
8. Сходящиеся последовательности
Определение: Последовательность {x n} называется сходящейся, если существует такое а что другая последовательность { x n – a} является бесконечно малой. Число а в этом случае называется пределом последовательности { x n }.Число а называется пределом последовательности { x n } если для любого ε>0 найдется такой номер N(ε) что для всех натуральных n > N(ε) выполняется неравенство │x n –а │< ε.
Пример: Последовательность {1=1/2n}={3/2,5/4,9/8…} имеет предел равный единице так как │x n - 1│=1/2n
Единственность предела: сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство: пусть (от противного) а и b пределы сходящейся последовательности {x n }. Причем а ≠b. Рассмотрим бесконечно малые последовательности. {α n }={x n - a } {β n }={x n - b } Так как все элементы бесконечно малой последовательности { α n - β n } имеют одно и то же значение b-a, то по свойству бесконечно малой последовательности b-a=0, то есть а=b, и мы приходим к противоречию.
Ограниченность сходящейся последовательности:
Пусть а – предел последовательности { x n }, тогда α n= x n –а есть элемент бесконечно малой последовательности. Возьмем некоторое ε > 0 и по нему найдем N(ε) такое что │ x n -а │< ε при n ≥N(ε). Обозначим через b наибольшее из чисел ε + │а │, │ x 1 │, │ x 2 │,…, │ x N(ε)-1 │, │ x N(ε) │. Отсюда видно что │x n │< b при любом n=1,2,3…отсюда и следует ограниченность последовательности { x n }. Не всякая ограниченная последовательность сходящаяся.
Пример: последовательность {(-1) n }. Ограничена снизу числом -1 а сверху 1, но не является сходящейся. Арифметические действия с пределами.
Пусть x n и у n обозначают переменные пробегающие соответственно сходящиеся последовательности {x n} {y n }. Тогда сумма x n + у n , разность, произведение, и частное, если у n ≠0 для всех n=1,2,3… есть переменные прогегающие соответственно сходящиеся последовательности { x n + у n }… Отсюда справедливо: (при n>∞)
Lim(x n + y n) = lim x n + lim y n
Lim(x n - y n) = lim x n - lim y n
Lim(x n * y n) = lim x n * lim y n
Lim(x n / y n) = lim x n / lim y n
Доказательство: пусть х>а и у>b тогда x n =а+α n , y n =b+β n, где α n>0 β n >0. Следовательно,
(x n + у n )-(а+b)= α n+β n>0 по свойству бесконечно малых последовательностей. Формула доказана. 2 аналогично.
Докажем 3.
│x n*y n - аb│=│(x ny n –a*y n )+(a*y n –a*b) │=│y nα n +a*β n│
Под знаком модуля есть бесконечно малая переменная так как последовательность {y n} ограничена. а постоянная а переменные α n и β n бесконечно малые. Формула 3 доказана. Для доказательства 4 формулы докажем лемму:
«Если переменная x n имеет не равный нулю предел а то найдется такое N(a) что │x n│> │а│/2 для n > N(a)
Доказательство: пусть ε=│а│/2 и N(a) номер такой что│x n - а │< │а│/2 при n ≥ N(a) и лемма доказана.
Из нее следует что │1/x n│≤ 2/│a│. Теперь просто доказывается формула: │(x n /y n ) – a/b│=│(x n b-y n a)/ y n b │=│(x n –a)b+(b-y n )a│/│y n│*│b│≤│x n - a│/│y n│+(│a│*│y n - b│)/(│y n│*│b│) Полагая │y n│> │b│/2 при n >N(b). Зададим ε > 0 как угодно малым и подберем N(ε)’ и N(ε)’’ такие чтобы выполнялись неравенства: │x n - а│< ε│b│/4 при n>N(ε)’ │a││y n -b│< ε*b2/4 при n>N(ε)’’ Тогда положив N=max{N(b),N( ε’ ),N(ε)’’}, получим │x n /y n –a/b│< (ε │b│/4)*(2/│b│)+ ε/2 = ε при n > N а это и доказывает равенство формулы 4.