19. Критерий Коши существования предела функции.

Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши). Пользуясь эквивалентностью старого и нового определений предель­ного значения функции, установим необходимое и достаточное условие существования у функции f(x) предельного значения в точке а.

Определение. Будем говорить, что функция f(x) удовле­творяет в точке х =а условию Коши, если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ такое, что, каковы бы ни были два значения аргумента х' и х", удовлетворяющие неравенствам 0<|х' — а|<δ, 0<|х" — а|<δ, для соответствующих значений функции справедливо неравенство |f(x')−f(x'')| <ε

_____________________________________________________________________________________________

20. Свойства пределов функции в точке

Пусть =A, =B

1 ) +βg(x))=αA+βB, где α и β постоянные.

2 ) =A*B

3 ) = A/B, где В≠0

Доказательство

Берем любое x_n>a ( где п> условие Б). Существует определенная точка а(а-, а)(а, а+)

g(x)≠0

<β ≠0 (β>0)

| g(x)-β|<B/2 -B/2<g(x)-β < B/2 B/2 < g(x) < 3/2B Применим условие Б

21. Правило замены переменной для пределов функций.

Пусть f(X)yo при xxo и существуют пределы lim f(x)=yo и lim u(y)=A, тогда при xxо существует предел сложной функции xxo yyo

u(f(x)) и lim u(f(x)) = lim u(y) = A

xxo yyo Доказательство:

Пусть функция u(y) определена в некоторой -окрестности точки yo, кроме, может быть самой точки yo, тогда поскольку f(x)yo, то при 0<|x-xo|< выполняется неравенство |f(x)-yo|<. Так как f(x)yo, при xxo, то для x(xo-,xo)(xo,xo+) имеет смысл суперпозиция u(f(x)).

Пусть теперь{Xn}-какая-либо последовательность, такая, что lim Xn=xo, XnXo и Yn=f(Xn) n=1,2.. В силу существования lim u(y) = A  lim u(f(x))=lim u(Yn)=A

yyo n n

Поскольку это видно для любой указанной последовательности {Xn}  lim u(f(x))=A

xxo

Пример: найти предел lim sin(*x/(x+2)) решение: Так как при -2<x<2 выполняется -/2<y=*

x0 3

*x/(x+2)</2,то, имеем y0 sin y0.Исп. правило замены переменной:lim sin(*x*(x+2)=0

x0

___________________________________________________________________________________________

22. Первый замечательный предел

обозначим f(x)=sinx /x, (x)=1/cosx.

Функция f(x) определена для всех значений х№0. пусть 0<x</2,тогда треугольник ОМВ содержится в секторе ОАМ,который в свою очередь содержиться в треугольнике ОАС и удвоенные площади перечисленных фигур соответственно равны (sinx*cosx),x и tgx, отсюда получаем неравенства sinx*cosx<x<tgx.при указанных значениях

При указанных значениях х sin x >0. Справедливо неравенство cos x <x/sin x <1/cos x.

=1, то и =1. При 0<x<π/2. Так как функция (sinx)/x является четной, то преднл будет таким же, если функция определена на интервале (-π/2, 0).

Замечание. Из этих геометрических построений в случае 0<x<π/2 следует, что 0<sinx<х и 1-sinx<cosx<1, поэтому =0, =1.

­­­­­­­­­­­­­Второй замечательный предел =е

Рассмотрим возрастающую функцию f(x)= при х>0 и докажем, что =e при этом предел будет тот же, если х>+¥ и >е в начале рассмотрим случай, когда х>+¥. Мы знаем, что >е п>+¥ и что эта последовательность монотонно возрастает. Зададим любое e>0 и подберем N_e такое что е-e <( )<e для [x]<N, где [x]- целая часть х, и поэтому при х³1 число [x]- есть натуральное. Имеем неравенство е-e < < < = * <e <e+e.

Средняя функция неравенств < * <е

Стремится к такому же пределу,к которому стремятся левая и правая функции,которые обе стремятся к е при х>+¥.заметим ещё,что множитель функции стремится к единице при n>¥.

Теперь рассмотрим случай,когда х>-¥.если х>-¥,то у=- х>+¥.имеем

= = = = = * >е ,при у>+¥.

X sinx>0