34. Теорема о существовании верхней и нижней грани числового множества.
Если X C R
, X≠Ǿ, при этом множество
Х ограничено сверху (снизу). То во
множестве всех верхних граней (нижних
граней) множества Х существует минимальный
элемент (максимальный элемент).
Доказательство: А=Х(по определению)
(множество называется ограниченным
сверху если у него есть верхняя грань).
В-множество всех верхних граней
множества Х. ĂаЄА
, . ĂbЄB
=> a<b.(Ă-квантор
всеобщности). Согласно аксиоме
непрерывности Eс: a
b,
ĂаЄА и ĂbЄB
(E-квантор существования) SUP-
минимальный элемент во множестве всех
верхних граней Х. INF-максимальный
элемент во множестве всех нижних граней
Х. (supremum, infium)
Множество Х называется ограниченным
сверху (снизу) если: х
с
ĂхЄХ (х
с
ĂхЄХ)
____________________________________________________________________________________________
Особая благодарность выражается Головачёву Артему, Нигматулиной Гудзели, Красновой Марине, Ложкову Виктору, Саетовой Рамиле и комнате 753, а так же всем, кто участвовал в создании этой бомбы. Удачи на коллоквиуме!