26. Теорема о пределе монотонных функций.

Функция f, определенная на числовом множестве Е, называется монотонно возрастающей (убывающей) на Е, если для любых x1,x2 принадлежащих Е, таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)f(x2) f(x1)f(x2). Теорема. Если на интервале (a,b) функция монотонно возрастает, то в точках a и b у функции существуют конечные и бесконечные пределы и lim f(x)=sup f, lim f(x)=inf f Доказательство: Если M=sup f<+, то, по определению

(xb-o) (a,b) (xa+o) (a,b) точной верхней грани, для произвольного >0 существует

такое X(a,b), что M-<f(X)M. Положим =b-X. В силу монотонности f(X)f(X) для любого X>X, а в силу определения точной верхней грани функции f(x)M. Поэтому если b-<X<b, то M-<f(X)f(x)M, а это означает что lim f(x) = M

Если sup f=+, то для произвольного B существует такое Xb(a,b), что xb-o

f(Xb)>B. По монотонности f(X)f(X)>B для любого x(Xb,b), а это в силу произвольности B и означает что lim f(x) =+. Следствие: Монотонная на интервале функция f имеет в каждой

xb-o точке этого интервала конечный предел как справа, так и слева.

Действительно, пусть f монотонно возрастает на (a,b) и точка Xo(a,b), тогда f(X1)f(Xo)f(X2)

для производных X1(a,Xo) и X2(Xo,b). Отсюда sup f f(Xo)inf f и по доказанной теореме существуют конечные пределы lim f(X) и lim f(x). Аналогично для убывающей функции.

xx0-o xx0+o

27.непрерывность функции в точке.

Определение- ф-я F называется непрерывной в точке А, если она определена в некоторой окрестности точки А, в том числе и в самой точке А, и если lim х>А F (х)=F(А)

Это определение в более развернутом виде формулируется так-

Функция F называется непрерывной в точке А, если она определена на интервале (с,d), содержащему точку А, и если для любого ε >0 существует δε>0, такое что из условия ıх-Аı< δε следует неравенство ıF(x) – F(A)ı<ε.Приведем еще формулировку, эквивалентную приведенным на языке последовательностей-

Функция непрерывна в точке А, если она определена на некотором интервале (с,d) , содержащем А, и если для любой последовательности {Xn}, сходящейся к А, Xn >A при n >∞, имеет место АF(х) >F(А), при n >∞. Если функция F, заданная в окрестности точки А, не является не прерывной в точек А, то она разрывна в точке А.

Прямое определение разрывности F в точке А. Пусть Функция F определена в окрестнрсти точки А и пусть существует ε >0 такое что для любого δ>0 найдется точка Х δ, такая что Х δ-А⃓< δ, но ⃓ F (Хδ)-F(A)⃓≥ ε , тогда F разрывна в точке А.

Для непрерывности функции в точке А требуется во первых , существование предела lim х>АF(х), во- вторых, совпадение этого предела с тем значением, которое функция принимает при х=А.

Пример- функция F(х)=⃓х⃓, х(-∞,∞) является непрерывной точке х=0, так как F(0)=0, причем lim х>-0(-х)=0, lim х> 0+0(х)=0

Сущность понятия непрерывности состоит в том, что данная бесконечно малое приращение Δх независимой переменной, мы можем сделать приращение Δy функции y= F(х) бесконечно малым

Δ y= F(А+ Δ х)- F(А) при Δх>0

F(А+ Δ х) > F(А) при Δх>0

Функция F в точке А непрерывна с права, если F(А+ 0)= F(А) и непрерывна слева, если F(А-0)= F(А). для того чтобы функция была непрерывной в точке А, необходимо и достаточно , чтобы в этой точке она была непрерывна как справа так и слева.

По Гейну Если для любой последовательности Xn>A, последовательное значение функции сходится одному и тому же числу F(A), то такая функция называется непрерывной.

По коши Функция называется непрерывной в точке А, если для любого ε >0 существует δ(ε) такой что для любых Х⃓Х-А⃓< δ и ⃓ F(x) – F(A)⃓< ε.