28. Разрывные функции. Классификация точек разрыва

Разрывная фунуция - функция содержашая в себе точки разрыва. Точки разрыва – точки в которых функция не обладает свойством непрерывности. Функция f(x) называется непрерывной в точке а если предельной значение этой функции в точке а существует и ранво частному значению f(a): lim f(x)=f(a) при х>а

Пример: функция f(x)=sgnx имеет разрыв в точке х=0.

Точка разрыва 1 рода: точка а называется точкой разрва 1-ого рода если в этой точке функция f(x) имеет конечные но не равные друг другу правое и левое предельные значения: lim f (x)≠lim f(x) или f(a+0) ≠ f(a-0)

^{x>a+0 x>a-0}

Пример 1: для функции f(x)=sgnx точка х=0 точка разрыва 1 рода. Действительно т.к. sgnx={1(x>0); 0(x=0);-1(x<0)} то

lim sgnx> = 1 lim sgnx = -1

x>0+0 x>0-0

Пример 2: f(x) = 1/ (1+2^{1 / x} )определена всюду кроме х=0 и имеет разрыв первого рода в этой точке:

lim f(x)> = 0 lim f(x) = 1

x>0+0 x>0-0

Точка разрыва 2 рода: точка а называется точкой разрыва 2-ого рода если в этой точке f (x) не имеет по краней мере одного из односторонних предельных значений или хотя бы один из них равен ∞.

Пример 1: f (x)=sin(1/x). Эта функция в точке х=0 не имеет ни правого ни левого предельного значений. Последовательности значений этой функции: 1, 1, 1, 1…и 0, 0, 0, 0…первая из них имеет предел =1 а вторая =0. значит функция в точке х=0 не имеет правого предельного значения, т.к. sin (1/(-x))=-sin(1/x) то нет и левого предельного значения.

Пример 2: f(x)= ctgx. Эта функция имеет разрыв второго рода в каждой точке πn n=±1, ±2, ±3…

Точки устранимого разрыва: Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x) если предельное значение функции в этой точке существует но в точке а функция f (x) не определена или ее частное значение f(a) в точке a не равно ее предельному значению lim f(x)=a {a≠f(Xo) или f(Xo) не определено)

^Х>Хо

Пример: f (x) = {sinx/x при х≠0; 5 при х=0}. Функция имеет в нулевой точке устранимый разрыв поскольку предельное значение этой функции в точке х=0 равно 1 а частное равно 5. Если функция f(x) имеет в точке а разрыв указанного типа то этот разрыв можно устранить не изменяя при этом значений функции в точках отличных от а. Для этого достаточно определить значение функции в точке а равным ее предельному значению в этой точке. Так если а рассмотренном примере положить f(0)=1 то lim f(x) = f(0) при ( ^х>0 ) и функция станет непрерывной а точке х=0.

29.Фунция непрерывная на отрезке

Функция F называется непрерывной на отрезке [A,B], если она непрерывна во всех точках интервала(A,B), непрерывна справа в точке А и непрерывна с лева в точке В

Все установленные свойства непрерывности функции в точке переносится на непрерывность функции на отрезке. Заметим только, что если две функции F1(x) иF2(x) непрерывна на отрезке [A,B] ,то частное F1(x)\F2(x) есть непрерывная функция на этом отрезке при условии, что F2(x) нигде на отрезке [A,B] не обращается в нуль.

Пусть две системы интегралов {s} , такая что каждая точка отрезка [A,B] лежит внутри, по меньшей мере, одного из интегралов системы {s} ,тогда система {s} покрывает отрезок[A,B]

Лемма бореля

Если система {s}покрывает отрезок [A,B] , то из нее можно выбрать конечную систему интегралов, которая также покрывает отрезок [A,B].

Теорема об ограниченной непрерывной функции

ФункцияF , непрерывная на отрезке [A,B] , ограниченна на нем.

Доказательство

Пусть точка α- любая точка отрезка [A,B].так как F(x) непрерывна в точке α, то для ε=1 найдется интеграл γ α=( α-δ α, α+ δ α,) такой, что при Х γ α [A,B] выполняется неравенство ⃓F(x)-F(α)⃓<1. отсюда ⃓F(x)⃓ < ⃓F(α)⃓+1 такой интеграл γ α мы можем выбрать для любой точки α[A,B].таким образом мы имеем систему {s} интегралов, покрывающих отрезок [A,B]. по лемме бореля выбираем из {s} конечное число интегралов γ1, γ2, γ3, …γn , которое покрывает отрезок [A,B] . каждый интеграл соответствует числу αк  [A,B] .среди чисел F( α1), F( α2), …F( αn), выберем наибольшее число M=max_{1kN}{⃓F(αk)⃓} ,тогда ⃓F(x)⃓ м+1 .теореме доказана.

_____________________________________________________________________________________________