16. Понятие функции

В опытах повседневной жизни мы всегда сталкиваемся с зависи­мостью одних явлений от других. Обычно величины, участвующие в этих явлениях, изменяются,находясь в более или менее тесной связи друг с другом. Так расстояние, проходимое человеком, зависит от времени; увеличение урожая посеянной культуры зависит от количества удобре­ний в почве; давление газа в сосуде зависит от объема сосуда и температуры газа, объем шара зависит от радиуса и т.д.

Математический анализ выделяют понятие функции и изучает свой­ства функций, отвлекаясь от того, какие зависимости между физичес­кими величинами они выражают. Понятие функции связано с понятием переменной величины.

Множество всех значений, которые может принимать данная пере­менная величина, называются областью изменения этой переменной ве­личины. Тоб что X есть элемент (в данном случае число) из множест­ва Е, записывают так: XeE . Для независимой переменной величины характерным является то, что мы можем по произволу выбирать для нее любое значение из этого множества ее возможных значений. Множеством значений независимой переменной X может служить какой-либо промежуток (или интервал) ( a,d ) (т.е. независимая переменная X может принимать значения, удовлетворяющие нера­венству a<X<b ). Может случиться, что X принимает любые целочисленные значения и т.д.

Определение. Функция f(x) называется ограниченной на множестве E если она ограниченна на E и сверху и снизу.

Определение . Функция f(x) называется неограниченной на множестве E если для любого M>c существует такое значение аргумента X0eE ,что |f(x0)|>M.

Определение . Функция f(x) определенная на числовом множестве Е называется монотонно убывающей (возрастающей) на Е если для любых x1,x2eE таких что x1<x2 выполняется неравенство f(x1)<=f(x2)(f(x1)>=fx2)).

17.Понятие элементарной функции.

Класс элементар­ных функций. В приложениях важную роль играет класс функций, получаемых посредством конечного числа арифмети­ческих операций над простейшими элементарными функциями, а также получаемых путем суперпозиции этих функций. На­пример, функции х³+ 3 cos 2х, In | sinЗх| - e^arctg vх принадлежат этому классу. Мы будем называть этот класс функций классом элементарных функций, а каждую функцию этого класса — эле­ментарной.

Отметим следующее свойство элементарных функций - они непрерывны в каждой точке области задания. Если при этом область задания функции окажется состоящей из от­дельных изолированных точек, то естественно считать, что функция по определению непрерывна в каждой из этих точек.

Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.3 и непрерывности простейших элементарных функций в каждой точке области задания.

Теорема 4.2.Пусть заданные на одном и том же множе­стве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)—g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке а (частное при условии g(a)≠0).

Док-во. Так как непрерывные в точке а функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f(а) и g(a), то в силу теоремы 4.1 предельные значения функций

f(x) +g{x), f(x)-g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) существуют и равны соответственно f(а) + g(a), f(a) —g(a), f(a)∙g(a), f(а)/g(а). Но эти величины как раз и равны частным значениям перечисленных функций в точке а. Теорема доказана. Теорема 4.3. Если функция х =g(t) непрерывна в точке а, а функция у = f(x) непрерывна в соответствующей точке b= g (а), то сложная функция у =f[g(t)] = F(t) непрерывна в точке а.

Док-во. Пусть {tn} — произвольная последо­вательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция х = g(t) непрерывна в точке а, то соответствующая последователь­ность значений этой функции х_n = g (t_n) сходится к частному значению этой функции в точке а, т. е. к числу b = g(a). Далее, поскольку функция у =f(x) непрерывна в точке b= g (a) и для нее указанная последовательность {х_n}, сходящаяся к b=g(a), является последовательностью значений аргумента, то соответствующая последова­тельность значений функции f(x_n) = f[g(t_n)] = F(t_n) сходится к числу f(b) = f[g(a)] = F(a).

Итак, мы получаем, что для любой последовательности {t_n} значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответ­ствующая последовательность значений самой сложной функ­ции {f [g(t_n)]} ≡{F(t_n)} сходится к числу f [g(a)]= F(a), являющемуся частным значением сложной функции в точ­ке а. Cложная функция f [g(t)] =F(t) непрерывна в точке a. Теорема доказана.