32. Равномерная непрерывность

Определение :Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a,b] (или на множестве E), если вы­полнено условие: для любого ε >0 существует такое δε > 0, что для любых двух точек x1 и x2 Є[a,b] (x1, x2Є E) c расстоянием | x1- x2|< δε выполняется неравенство |f(x1)-f(x2)|< ε

В этом определении равномерность надо понимать так, что раз­ность |f(x1)-f(x2)| должна быть малой не зависимо от того, где на отрезке [а,b] взяты точки x1 и х2, лишь бы они были доста­точно близки друг к другу.

Из равномерной непрерывности следует непрерывность к каждой точке отрезка, а значит и просто непрерывность на отрезке: берем любую точку £ Є [a,b], задаем ε >0 и находим δ>0 та­кое, что |x-£|<δ влечет неравенство |f(x)-f(£)|<ε

Более глубоким является обратное утверждение.

Теорема Кантора

Функция f(x) , непрерывная в каждой точке отрезка [а,b] , равномерно непрерывна на этом отрезке.

33.Непрерывность элементарных функций.

элементарных функций - они непрерывны в каждой точке области задания. Если при этом область задания функции окажется состоящей из от­дельных изолированных точек, то естественно считать, что функция по определению непрерывна в каждой из этих точек.

Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.3 и непрерывности простейших элементарных функций в каждой точке области задания.

Теорема 4.2.Пусть заданные на одном и том же множе­стве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции f(x)+g(x), f(x)—g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке а (частное при условии g(a)≠0).

Док-во. Так как непрерывные в точке а функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f(а) и g(a), то в силу теоремы 4.1 предельные значения функций

f(x) +g{x), f(x)-g(x), f(x)∙g(x) и f(x)/g(x) существуют и равны соответственно f(а) + g(a), f(a) —g(a), f(a)∙g(a), f(а)/g(а). Но эти величины как раз и равны частным значениям перечисленных функций в точке а. Теорема доказана. Теорема 4.3. Если функция х =g(t) непрерывна в точке а, а функция у = f(x) непрерывна в соответствующей точке b= g (а), то сложная функция у =f[g(t)] = F(t) непрерывна в точке а.

Док-во. Пусть {tn} — произвольная последо­вательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся к а. Так как функция х = g(t) непрерывна в точке а, то соответствующая последователь­ность значений этой функции х_n=g(t_n) сходится к частному значению этой функции в точке а, т. е. к числу b = g(a). Далее, поскольку функция у=f(x) непрерывна в точке b= g (a) и для нее указанная последовательность {х_n}, сходящаяся к b=g(a), является последовательностью значений аргумента, то соответствующая последова­тельность значений функции f(x_n) = f[g(t_n)] = F(t_n) сходится к числу f(b) = f[g(a)] = F(a).

Итак, мы получаем, что для любой последовательности {t_n} значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответ­ствующая последовательность значений самой сложной функ­ции {f [g(t_n)]} ≡{F(t_n)} сходится к числу f [g(a)]= F(a), являющемуся частным значением сложной функции в точ­ке а. Cложная функция f [g(t)] =F(t) непрерывна в точке a. Теорема доказана.

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­____________________________________________________________________________________________