ALGEBRA

Пусть f1, f2, . . . , fn – базис, а x – произвольный вектор линейного пространства Ln. Система векторов

x, f1, f2, . . . , fn

линейно зависима, так как она состоит из (n + 1) вектора n - мерного линейного пространства. По определению 8, c0, c1, . . . , cn R, среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие что

ñ0x + c1f1 + · · · + cnfn = 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Число c0 6= 0, иначе система f1, f2, . . . , fn оказалась бы линейно зависимой (а это базис). Поэтому можно записать

Вектор x представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eдинственность докажем методом от противного.

Предположим, что

и

причём

(λ1 − µ1)2 + (λ2 − µ2)2 + · · · + (λn − µn)2 6= 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Вычитая (1.8) из (1.7), получим

(λ1 − µ1)f1 + (λ2 − µ2)f2 + · · · + (λn − µn)fn = 0.

Так как система f1, f2, . . . , fn линейно независима (это базис), то

(λ1 − µ1) = 0, (λ2 − µ2) = 0, . . . , (λn − µn) = 0,

что противоречит нашему предположению.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть (f) = (f1, f2, . . . , fn) - фиксированный ба-

зис Ln. Из теоремы 4 следует, что

x Ln !(x1, x2, . . . , xn) Rn, такая что

x = x1f1 + x2f2 + · · · + xnfn.

Определение 11. Выражение

x = x1f1 + x2f2 + · · · + xnfn

называется разложением вектора x по бази-

су (f) = (f1, f2, . . . , fn), а числа x1, x2, . . . , xn

называются координатами вектора x относительно базиса (f) = (f1, f2, . . . , fn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 5. При сложении векторов их координаты относительно одного и того же базиса складываются, а при умножении на число – умножаются на число.

( Теорему доказать самостоятельно).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Задачи для практических занятий.

Пример 28. Показать, что dim Rn = n. (Указание: см. примеры 19,20).

Пример 29. Показать, что dim P≤n = n + 1. (Указание: см. задачи 12,23).

Пример 30. Показать, что линейное пространство F(a, b) бесконечно мерное. (Указание: см. задачи 11,24).

Пример 31. Показать, что dim M23(R) = 6. (Указание: см. задачи 25,26).

Пример 32. Показать, что dim Mmn (R) = m · n. (Указание: см. задачи 6,27).

Пример 33. Показать, что dim L0 = n − 1. (Указание: см. задачи 8,22,18).

Пример 34. Пусть Ln – произвольное линейное пространство. Покажите, что dim (Ln×Ln) = 2n.

(Указание: см. задачу 4).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit