ALGEBRA

Теорема 2. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть x1, x2, . . . , xk – линейно зависимая подсистема системы векторов x1, x2, . . . , xn, k < n. Тогда, в силу определения 8, существуют числа λ1, λ2, . . . , λk , среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что имеет место равенство

λ1x1 + λ2x2 + · · · + λkxk = 0.

Следовательно можно записать

λ1x1 + · · · + λkxk + 0 · xk+1 + · · · + 0 · xn = 0,

из чего следует, по определению 8, линейная зависимость всей системы векторов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 3. Совокупность векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство. Нулевой вектор всегда можно представить в виде линейной комбинации любых векторов x1, x2, . . . , xn:

0 = 0 · x1 + 0 · x2 + · · · + 0 · xn.

По теореме 1, система векторов

0, x1, x2, . . . , xn

линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Задачи для практических занятий.

Пример 18. Показать, что всякая подсистема линейно независимой системы векторов также линейно независима.

Пример 19. Пусть n N фиксировано. Показать, что система векторов e1 = (1, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1) Rn линейно независима.

Пример 20. Пусть n N фиксировано. Показать, что система векторов e1 = (1, 0, . . . , 0),

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1), x Rn, где x = (x1, x2, . . . , xn) –

произвольный вектор из Rn линейно зависима.

Пример 21. Показать, что система векторов

a1 = (1, −1, 0), a2 = (0, 1, −1), a3 = (0, 0, 1) R3 линейно независима.

Пример 22. Пусть n N, n > 2, фиксировано. Показать, что система векторов a1 = (1, -1, 0, 0, ... , 0), a2 = (0, 1, -1, 0, 0, ... , 0), ...

= (0, 0, 0, ..., 0, 1, -1),

an = (0, 0, ... , 0, 1) Rn линейно независима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 23. Пусть n N фиксировано. Показать, что система многочленов

p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x2, . . . , pn(x) = xn

линейно независима.

Пример 24. Пусть n N фиксировано. Построить линейно независимую систему векторов линейного пространства F(a, b), состоящую из n векторов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 26. Показать, что система векторов

матрица из M23(R), линейно зависима.

Пример 27. Пусть n, m N фиксированы. Построить линейно независимую систему векторов линейного пространства Mmn (R), состоящую из m·n векторов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.3. Размерность линейного пространства

Определение 9. Линейное пространство L называется n - мерным, если в нем существует система из n линейно независимых векторов e1, e2, . . . , en такая, что для любого x L система e1, e2, . . . , en, x линейно зависима. В этом случае число n называют размерностью пространства L и пишут dim L = n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Произвольное линейное пространство размерности n будем обозначать символом Ln. Пусть L произвольное линейное пространство. Возможны два случая:

1. Существует линейно независимая система из n векторов, а любая система, состоящая из (n+1) вектора, линейно зависима. В этом случае dim L = n;

2. Существуют линейно независимые системы из любого числа векторов (см. пример 23). В этом случае пространство L будем называть

бесконечно мерным, и писать dim L = ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 10. Любая линейно независимая система, состоящая из максимально возможного числа векторов, называется базисом линейного пространства L, а вектора, составляющие базис, называются базисными векторами.

В линейном пространстве Ln базис существует и состоит ровно из n векторов. Один ли базис в Ln ? Нет, базисов много.

(Из примеров 19-20 следует, что система векторов e1,e2,..., en Rn базис в Rn. Но система

векторов из примера 22 линейно независима и состоит из n векторов, а, следовательно, тоже

базис в Rn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 4. Любой вектор линейного пространства Ln можно представить единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit