ALGEBRA

1.5.Линейная оболочка

Пусть L линейное пространство и

a1, a2, . . . , ak L

линейно независимая система векторов. Обозначим через

L(a1, a2, . . . , ak) =

={λ1a1 +λ2a2 +· · ·+λkak|λ1, λ2, . . . , λk R}.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Так как каждый элемент L (a1, a2, . . . , ak) есть линейная комбинация векторов a1, a2, . . . , ak, то

1.система a1, a2, . . . , ak L (a1, a2, . . . , ak) линейно независима;

2.α, β R и x, y L (a1, a2, . . . , ak) :

α · x + β · y L (a1, a2, . . . , ak) .

Отсюда следует, что L (a1, a2, . . . , ak) линейное подпространство L (см. пример 35) и dimL (a1, a2, . . . , ak) = k.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.6. Линейное пространство геометрических векторов

Геометрический вектор – это математическая абстракция физических векторных величин. Физические векторные величины характеризуются направлением, абсолютной величиной, точкой приложения и т. д. В понятии геометрического вектора сохраняются все свойства физических векторных величин связанных с

направлением и абсолютной величиной. Направление в пространстве можно задать лучом или направленным отрезком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 14. Говорят, что задан направ-

−→

ленный отрезок AB , если заданы две точ-

ки: точка A начало направленного отрезка и точка B – конец направленного отрезка.

Направление в пространстве будем задавать направленным отрезком, а длина направлен-

ного отрезка будет задавать вторую характеристику векторных величин – абсолютную величину. Таким образом, если задан направ-

ленный отрезок, то заданы обе характеристики геометрического вектора – направление и

абсолютная величина.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Эти рассуждения показывают, что направлен-

−→

ный отрезок AB задаётся тремя величина-

ми: начальной точкой A, направлением в пространстве – это луч выходящий из точки A

и проходящий через точку B и абсолютной

−→

величиной – длинной отрезка AB в некото-

ром масштабе. Направленный отрезок хорошо подходит для изображения физических век-

торных величин, этим пользуются в физике, механике и т.д.

Что же такое геометрический вектор? Все определения геометрического вектора не позволяют наглядно представить этот матема-

тический объект. Но математический объект можно описать его свойствами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Будем говорить, что задан геометрический вектор, если

1.задано направление;

2.задано неотрицательное число масштабных единиц, которое будем называть длиной (мо-

дулем) геометрического вектора .

векторов обозначим через V. Пусть ~a V. Обозначим через |~a| длину геометрического вектора, которую будем называть также модулем геометрического вектора. В дальней-

шем геометрические вектора будем называть просто векторами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Операция – отложить вектор от точки.

Определение 15. Отложить вектор ~a V

от точки A – значит построить направлен-

−→

ный отрезок AB такой, что:

−→

1. направление AB совпадает с направлением

вектора ~a;

−→

2. длина AB равна длине вектора ~a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit