ALGEBRA

2.5.

Преобразование декартовых

координат в пространстве V2(π)

В пространстве V2(π) различают правые и

левые базисы. Пусть π – произвольная фик-

сированная плоскость и

~

(~a, b) базис в V2(π).

(Напомним, что базис в V2(π) – упорядочен-

ная пара неколлинеарных векторов).

~

Откладывая векторы ~a и b от произвольной

точки O π, получим упорядоченную пару

направленных отрезков

OA, OB).

(−→ −−→

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 36. Упорядоченная пара некол-

линеарных векторов

~

(~a, b) из V2(π) называ-

, если поворот OA к OB на мень-

ется правой

−→

−−→

ший угол происходит против часовой стрелки.

В противном случае (~a,~b) из V2(π) – левая

пара (см. рис. 21, 22).

π

A

π

B

B

A

~

~a

~

~a

b

b

O

O

~

~

Рис. 21 Правая (~a, b)

Рис. 22 Левая (~a, b)

•First

•Prev •Next •Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

~

в V2(π) назы-

Определение 37. Базис (~a, b)

вается правым (левым), если

~

(~a, b) из V2(π)

правая (левая) пара.

Определение

38. Система

координат

~

называется правой (левой),

(O,~a, b) в V2(π)

~

если базис (~a, b) правый (левый) базис.

•First •Prev •Next •Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

Поворот декартовой системы координат.

Пусть фиксирована плоскость π и

(O,~ıс,~|с), (O,~ıн,~|н) –

π

Jс

Iн

две правые декартовы

Jн

~|с ~ıн

системы координат в

~|н

ϕ

пространстве V2(π) с

~ıс

Iс

O

общим началом в точ-

Рис. 23

ке O, которые будем

называть “старой” и “новой”, соответственно.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close

•Quit

Отложив от точки O векторы

~ıс, ~ıн, ~|н,

получим

три

направленных

отрезка

OI ,

OI ,

OJ . Обозначим через ϕ угол,

−−→

−−→

−−→

с

н

н

против ча-

на который нужно повернуть OI

−−→

с

совой стрелки до его совпадения с OI . Этот

−−→

н

угол ϕ, 0 ≤ ϕ < 2π, будем называть углом

поворота новой системы координат по

отношению к старой системе координат.

Заданием этого угла однозначно фиксируется

положение новой системы по отношению к

старой и ~ıн

= (cos ϕ, sin ϕ) = ~ıс cos ϕ + ~|с sin ϕ

относительно старой системы координат.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Так как (O,~ıн,~|н) правая система коор-

динат,

то ~|н

=

cos ϕ + π2

!, sin ϕ + π2

!!

=

(− sin ϕ,

cos ϕ)

относительно

базиса (~ıс,~|с).

Итак

~ıн = ~ıс cos ϕ + ~|с sin ϕ

, 0

ϕ < 2π.

(2.4)

~|н =

~ıс sin ϕ + ~|с cos ϕ

≤

−

Возьмём произвольную точку M плоскости

π. Пусть она имеет координаты M(xс, yс) и

M(xн, yн) в “старой” и “новой” системах коор-

динат, соответственно.

•First •Prev

•Next •Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда

~rM = xс~ıс + yс~|с

и

(2.4)

~rM = xн~ıн + yн~|н =

xн(~ıс cos ϕ + ~|с sin ϕ) + yн(−~ıс sin ϕ + ~|с cos ϕ) =

= (xн cos ϕ−yн sin ϕ) ~ıс + (xн sin ϕ+ yн cos ϕ)~|с.

Отсюда получаем

xс = xн cos ϕ

yн sin ϕ

−

, 0

ϕ < 2π. (2.5)

≤

yс = xн sin ϕ + yн cos ϕ

•First •Prev

•Next •Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из (2.5) выражаем xн и yн:

xн =

xс cos ϕ + yс sin ϕ

, 0

ϕ < 2π. (2.6)

xс sin ϕ + yс cos ϕ

≤

yн =

−

Формулы (2.5) и (2.6) позволяют находить

“старые” координаты точки M, если известны

“новые” и наоборот, т.е. нами получен закон

изменения декартовых координат при поворо-

те осей.

•First •Prev

•Next

•Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Параллельный перенос декартовой системы

координат.

Пусть заданы (Oс,~ı,~|),

π

~|

(Oн,~ı,~|) –

две декар-

M

н

товы системы коорди-

~rM

Oн

~ı

нат в V2(π) и Oн(a, b) в

~|

~rMс

“старой” системе коор-

~rOсн

динат (Oс,~ıс,~|с). Возь- Oс

~ı

мём

произвольную

Рис. 24

точку M плоскости π.

Пусть

она

имеет

координаты

M(xс, yс)

и

M(xн, yн) в “старой” и “новой” системах ко-

ординат, соответственно.

•First •Prev

•Next

•Last •Go Back •Full Screen

•Close •Quit

Направленные отрезки O O , O M, O M за-

−−−→

−−−→ −−−→

дают вектора

~r с

с

н

с

с

н

= a~ı + b~|,

~r

= x ~ı +

Oн

M

с

y ~|, ~r н = x ~ı + y ~|, соответственно. Так как

с

M

н

н

~r с

= ~r с

+ ~r н

, то

M

Oн

M

xн = xс

xс = xн + a

a

−

или

yс = yн + b

yн = yс

−

b

Мы получили преобразования координат при

параллельном переносе.

•First •Prev

•Next •Last

•Go Back

•Full Screen •Close •Quit