ALGEBRA
.pdfАксиома A4: Пусть ~a произвольный геомет-
рический вектор. Определим вектор ~ следую- b
щими условиями:
|
~ |
~ |
|
|
|b| = |~a|, b ↑↓ ~a. |
||
|
|
~ |
~ |
Тогда, очевидно, что ~a + b = 0, т.е. геометри- |
|||
ческий вектор |
~ |
является противоположным |
|
b |
вектору ~a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Операция умножения вектора на число.
Произведением вектора ~a на число λ называется вектор ~c (пишут ~c = λ~a), если:
1. ~c = λ~a↑↑~a при λ > 0, ~c↑↓~a при λ < 0,
~ при
~c = λ~a = 0 λ = 0.
2. |~c| = |λ||~a|.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Из определения следует, что два ненулевых
коллинеарных вектора и ~ отличаются чис-
~a b
ловым множителем, то есть ~
b = λ~a.
Нетрудно убедиться, что аксиомы 5 – 8 линейного пространства выполняются. Линейное пространство геометрических векторов обозначают буквой V3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Размерность пространства V3.
Пусть П и π произвольные фиксированные прямая и плоскость, соответственно. Обозначим через V1(П) множество геометрических векторов коллинеарных прямой П, а через
V2(π) множество геометрических векторов
компланарных плоскости π. Очевидно, что
V1(П) V3 и V2(π) V3 линейные подпространства пространства V3.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 7. |
~ |
Два ненулевых вектора ~a, b V3 |
линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Доказательство. Необходимость. Пусть
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~a, b V3 линейно зависимы. Тогда, по теоре- |
||||||||
ме 1 следует, что |
|
~ |
~ |
|
|
|||
~a = λb и ~a k b. |
|
|
||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
Достаточность. Пусть ~a, b V3 ненулевые и |
||||||||
~a ~b. Тогда ~a = |
|a| |
· |
~b, если ~a |
↑↑ |
~b и ~a = |
|a| |
~b, |
|
|| |
~ |
|b| |
|
|
−|b| · |
|
||
если ~a |
↑↓ b. Отсюда, по теореме 1, следует, |
~ |
линейно зависимые. |
что векторы ~a, b V3 |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 7.1. Eсли два ненулевых вектора неколлинеарны, то они и линейно независимы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 8. dimV1(П)= 1.
Доказательство. 1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.
2. Любые два вектора из V1(П) коллинеарны и поэтому, в силу теоремы 7, линейно зависимы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Любой ненулевой вектор ~e V1(П) можно взять в качестве базиса, а произвольный вектор ~x V1(П) разложить по базису: ~x = x1 ·~e, где x1 – координата вектора ~x относительно базиса ~e. Каждый вектор ~x V1(П) можно задать его координатой относительно фиксированного базиса ~e V1(П):
~x = (x1)~e.
Eсли базис фиксирован и не меняется, то пишут ~x = (x1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 9. dim V2(π) = 2.
Доказательство. 1. Два неколлинеарных вектора из V2(π) линейно независимы.
2. |
Возьмем |
три произвольных вектора |
~a, |
~ |
Возможны два случая. |
b, ~c V2(π). |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
a) Среди векторов ~ есть пара
~a, b, ~c V2(π)
коллинеарных, например, векторы ~
~a, b V2(π)
коллинеарные вектора. Тогда, по теореме 7,
система ~ – линейно зависима. В силу тео-
~a, b
ремы 2, система векторов ~ линейно за-
~a, b, ~c
висима.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit