ALGEBRA

Пример 9. Пусть n N фиксировано. Обозначим через

L1 := {(x1, x2, . . . , xn) | x1 + x2 + . . . + xn = 1} Rn.

Можно ли на множестве L1 ввести линейную структуру теми же операциями, что и в линейном пространстве Rn? Можно ли на множестве L1 ввести линейную структуру?

Пример 10. Обозначим через

R+ := {x R|x > 0} R.

Можно ли на множестве R+ ввести линейную структуру теми же операциями, что и в линейном пространстве R?

Пример 11. Обозначим через F(a, b) множество функций f, определённых на

(a, b).

Ввести линейную структуру на F(a, b).

Пример 12. Пусть P≤n множество многочленов степени не выше n, где n N фиксировано. Введите на множестве P≤n линейную структуру.

Пример 13. Пусть Pn множество многочленов степени n, где n N фиксировано. Определим операцию сложения многочленов как операцию приведения подобных. Правильно ли мы определили операцию сложения?

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 14. Пусть L линейное пространство. Тогда, в силу аксиомы A3 имеем, что 0 L такой, что

Покажите, что такой нуль-элемент в линейном пространстве L единственный.

Решение. Метод решения: от противного. Пусть существуют два различных нуль-элемента 0, 01 L. Тогда, в силу аксиомы A3, x L :

x=01

(x + 0 = x) = (01 + 0 = 01) аксиома A1

x=0

=

(x + 01 = x) = (0 + 01 = 0)

(01 = 0.)

Следовательно, нуль-элемент в любом линейном пространстве L единственный.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 15. Пусть L линейное пространство. Тогда, в силу аксиомы A4 имеем, что x L y L такой, что

Элемент y называют противоположным элемента x. Покажите, что для каждого x L существует единственный противоположный элемент y

в линейном пространстве L. Решение. Метод решения: от противного.

Пусть существуют вектор x L, который имеет два различных противополож- ных элемента

y, z L.

Тогда, в силу аксиомы A4 :

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следовательно, для каждого x L существует единственный противоположный элемент в линейном пространстве L.

TПример 16. Докажите, что в любом линейном пространстве для каж-

дого элемента x имеет место равенство 0 · x = 0, где 0 R. Решение. Пусть x L произвольный. Тогда

Прибавляя к обеим частям равенства (1.5) противоположный к x элемент y, получим, что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 17. Пусть L линейное пространство. Тогда, в силу аксиомы A4 имеем, что

x L y L такой, что x + y = 0,

T где 0 - нуль-элемент линейного пространства L. Покажите, что y = (−1)x.

(Отсюда следует единственность противоположного элемента в линейном пространстве L ).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Пусть L произвольное линейное пространство. Определение 7. Вектор y L называется линейной комбинацией векторов x1, x2, . . . , xn

L c коэффициентами λ1, λ2, . . . , λn R, если y = λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 8. Совокупность векторов x1, x2, . . . , xn называется линейно зависимой, если существуют числа λ1, λ2, . . . , λn , среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что имеет место равенство

Eсли же равенство (1.6) возможно лишь в случае, когда все λ1 = λ2 = · · · = λn = 0, то совокупность векторов называется линейно независимой.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Далее рассмотрим три теоремы о линейной зависимости.

Теорема 1. Совокупность векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из этих векторов является линейной комбинацией остальных.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Необходимость. Пусть

x1, x2, . . . , xn

– линейно зависимая система векторов. Тогда, в силу определения 8, существуют числа λ1, λ2, . . . , λn, среди которых хотя бы одно не равно нулю, такие, что имеет место равенство

λ1x1 + λ2x2 + · · · + λnxn = 0.

Пусть λ1 6= 0.

Тогда x1 = −λλ21x2 − · · · − λλn1 xn. Здесь первый вектор равен линейной комбинации осталь-

ных.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Достаточность. Пусть один из этих векторов, например x1, является линейной комбинацией остальных:

x1 = c2x2 + · · · + cnxn.

Тогда

1 · x1 − c2x2 − · · · − cnxn = 0,

т.е. существуют числа

λ1 = 1, λ2 = − c2, λ3 = − c3, . . . , λn = − cn,

среди которых λ1 6= 0, и такие, что имеет место (1.6). Следовательно, по определению 8, совокупность векторов линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit