ALGEBRA

Пусть z1 = r(cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ, z2 = ρ(cos ψ + i sin ψ) = ρeiψ.

Tогда, по определению умножения комплексных чисел, имеем

z1 · z2 = rρ(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ)+

+irρ(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ) =

=rρ(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) = rρei(ϕ+ψ).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

а аргумент произведения двух комплексных чисел равен (с точностью до 2kπ ) сумме аргументов сомножителей (см. рис. 10).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Используя определение частного двух комплексных чисел, при ρ 6= 0, найдём

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

По индукции нетрудно проверить, что если

zk = rk(cos ϕk + i sin ϕk), k = 1, 2, ..., m,

то

z1z2 · · · zm = r1r2 · · · rmei(ϕ1+ϕ2+...+ϕm).

Полагая здесь z1 = z2 = · · · = zm = reiϕ ,

получим

zm = rmeimϕ,

т.е. для ВОЗВЕДЕНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ЦЕЛУЮ СТЕПЕНЬ m необходимо модуль этого числа возвести в степень m, а аргумент числа увеличить в m раз.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 27. Корнем натуральной степени n из комплексного числа z = reiϕ, r 6= 0, называется такое комплексное число w = ρeiψ, которое при возведении в степень n даёт число z, т.е. wn = z.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из определения 27 следует, что

k = 0, ±1, ±2, . . . .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Tак как функции cos ϕ и sin ϕ периодические с периодом 2π, то корень степени n из числа z будет принимать точно n различных значений, соответствующих значениям k = 0, 1, . . . , n−1, т.е.

k = 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1.

(1.15)

√

Отметим, что символ n z в применении к комплексным числам означает не одно число, а совокупность n чисел.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Геометрически значения корня n-й степени из

комплексного числа z = reiϕ изображаются

на плоскости πR2z вершинами правильного n- угольника, вписанного в окружность радиуса

1

rn с центром в начале координат.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

√

Пример 46. Найти все значения 3 −1.

Решение. Представим число z = −1 в тригонометрической форме:

(1.16)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit