ALGEBRA

~

Тогда

Пусть ~a = x~ı + y~| + zk.

cos(~aˆ~ı) = cos α =

(a,~ı)

=

x

,

(2.12)

~a

s

x2

+ y2 + z2

| |

(~a,~|)

y

(2.13)

cos(~aˆ~|) = cos β =

=

,

~a

s

x2

+ y2 + z2

| |

~

~

z

(~a, k)

(2.14)

cos(~aˆk) = cos γ =

=

.

~a

s

x2 + y2 + z2

Легко видеть, что

| |

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

(2.15)

~

π

T

образуют угол ϕ =

Пример 74. Геометрические векторы ~a и b

4 ; зная,

~

~

что |~a| = 5, |b| = 5 вычислить (~a, b).

~

Пример 75. Геометрические векторы ~a, b,~cπ V3 попарно образуют друг

T

3

|

|

~

~

| |

с другом углы, каждый из которых равен

. Зная, что ~a

= 4,

b

= 2 и

|~c| = 2, определить модуль (длину) геометрического вектора p~ = ~a+b+~c.

Пример 76. Геометрические векторы ~a и

~

перпендикулярные; геомет-

b

T

рический вектор ~c образует с каждым из них углы равные π3 . Зная, что

~

~ ~

|~a| = 4, |b| = 7 и |~c| = 4, вычислить (3~a − 2b, b + 2~c).

Пример 77. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

T

~

~

(~ı,~|, k)

и два геометрических вектора ~a = (3, 4, 2) и b = (5, 4, −2). Вы-

~

числить (~a, b).

Пример 78. В линейном пространстве V3 фиксирована декартова си-

стема~

координат

~

T

(O,~ı,~|, k). Вычислить какую работу производит сила

f = (−5, −3, 0),

когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно,

Пример 79. Фиксирована плоскость π и декартов базис (~ı,~|) в про-

странстве V2(π). Дан геометрический вектор ~a = (5, −9). Укажите ко-

T

ординаты какого-нибудь ненулевого геометрического вектора перпенди-

кулярного вектору ~a.

Пример 80. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

T

~

(~ı,~|, k). Определить при каком значении α геометрические векторы a =

~

~

−3~ı − 4~| + αk и b = (2, −3, −5) перпендикулярны.

Пример 81. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

T

~

(~ı,~|, k) и геометрический вектор ~a = (2, 3, 4). Найти длину (модуль)

геометрического вектора ~a.

Пример 82. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

~

T

Определить неиз-

(~ı,~|, k) и задан геометрический вектор ~a = (2, y, 2).

вестную координату вектора ~a при условии, что квадрат длины вектора

~a равен 12.

Пример 83. В

линейном пространстве V3 фиксирован декартов

ба-

T

~

= (2, 5, −6) и

~

зис (~ı,~|, k) и заданы два геометрических вектора ~a

b =

Пример 84. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

~

и заданы два коллинеарных геометрических вектора

(~ı,~|, k)

T

~

~a = (2, 1, −1) и b = (x, y, z). Найдите координаты геометрического век-

~

~

тора b,

если известно, что ~a ↑↓ b и квадрат длины геометрического

~

вектора b равен 6.

Пример 85. В линейном пространстве V3 фиксирована декартова си-

T

~

стема координат (O,~ı,~|, k) и заданы две точки A(2, 3, 3) и B(2, 3, 4).

Найдите расстояние d(A; B).

Пример 86. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

~

T

Вычислить проекцию геометрического вектора

~(~ı,~|, k).

b = (−1, 2, 1) на ось, определяемую геометрическим вектором ~a =

(4, −1, 5).

Пример 87. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

T

~

~

(~ı,~|, k)

и три геометрических вектора ~a = (0, −1, 1), b = (3, 0, 2) и ~c =

Пример 88. В линейном пространстве V3 фиксирован декартов базис

T

~

(~ı,~|, k). Вычислить косинус угла между геометрическими векторами ~a =

(0, −3, 1) и b = (4, −1, 2).

Пример 89. В линейном пространстве V3 фиксирована декартова си-

T

стема~

S = (1, −1, 4) на ось, составляющую с координатными осями равные

острые углы.

Пример 90. В линейном пространстве V3 фиксирована декартова си-

стема координат (O,~ı,~|, k). Найти проекцию геометрического вектора

~

√

S = (−3 2, −1, 4) на ось, составляющую с координатными осями Ox

и Oz углы α = 450 γ = 600 , а с осью Oy –

острый угол β.

Пример 91. В линейном пространстве V3 фиксирована декартова систе-

T

ма координат (O,~ı,~|, k). Определить координаты точки M(x, y, z), если

её радиус-вектор составляет с координатными осями острые одинаковые

~

(~a, b,~c )

Определение 42.

~

в V3 называ-

Базис (~a, b,~c )

~

правая трой-

ется правым, если (~a, b,~c ) из V3

ка.

Определение 43.

~

в V3 называ-

Базис (~a, b,~c )

ется левым, если

~

(~a, b,~c ) из V3 левая тройка.