ALGEBRA
.pdf
Определение 29. Ортогональной проекцией
−→
направленного отрезка AB на ось называет-
−−→
ся направленный отрезок A0B0 , где A0 и B0 ортогональные проекции точек A и B на эту ось, соответственно. 
S
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 30. Ортогональной проекцией геометрического вектора ~a на ось называется число, обозначаемое пр~e ~a, получаемое в
результате следующих построений: 
S
|
|
|
|
|
|
1. отложив вектор ~a от произвольной точки |
|||||
A, |
|
|
−→ |
||
|
получим направленный отрезок AB; |
||||
2. |
|
|
|
−−→ |
|
построим направленный отрезок A0B0 , яв- |
|||||
|
|
−→ |
|
|
|
ляющийся проекцией AB на ось; |
|
|
|
||
3. |
|
−−→ |
|
|
|
направленный отрезок A0B0 задаёт вектор |
|||||
~ |
V1(П); |
|
|
|
|
a0 |
|
~ |
|
||
4. |
пр~e ~a есть координата вектора |
a0 V1(П) |
|||
относительно |
базисного вектора |
|
оси ~e |
||
|
~ |
= пр~e ~a · ~e. |
|
|
|
V1(П), т.е. a0 |
|
|
|
||
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В определении 30 присутствует произвольная точка A. Легко видеть, что пр~e ~a не зависит от выбора точки A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 13. Проекция геометрического вектора на ось равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и базисным вектором оси.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Отложив от точки O (точ-
ка отсчёта на оси) вектор ~a, получим направ- |
||||||||||
|
|
−→ |
|
|
−−→ |
|
|
|
||
ленный отрезок |
|
|
|
0 |
ортогональная |
|||||
OA. Пусть OA |
|
|||||||||
|
−→ |
|
~ |
V1 |
|
П |
−−→ |
|
||
проекция OA на ось и a |
0 |
( |
|
|||||||
|
|
|
|
) вектор, за- |
||||||
даваемый направленным отрезком OA0 . Тогда |
||||||||||
~ |
−−→ |
~ |
Опр.30 |
пр~e ~a · ~e. |
(2.1) |
|||||
|a0| = |OA0| и a0 |
= |
|
||||||||
Из (2.1) следует, что |
|
−−→ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|пр~e ~a| = |OA0|. |
|
|
|
(2.2) |
|||||
−−→
Обозначим угол (~aˆ~e) через ϕ. Найдём |OA0|. Возможны следующие случаи:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1. ϕ = 0.
~e |
a~ |
A0 |
O |
0 |
A |
~a |
||
|
Рис. 12 |
|
Тогда
(ϕ = 0) |
~ |
−−→ |
(2.1) |
|~a|) |
|
(~a = a0) (|OA0| |
= |
|
|||
(2.1) |
|
(|пр~e |
~a| |
Опр.103 |
|
(~e ↑↑ a~0) (пр~e ~a > 0) |
|
= |
|||
(пр~e ~a
(2.2)
пр ~a)
~e
= |~a| cos ϕ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.0 < ϕ < |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
a~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
~e |
a~ |
A0 |
|
|
|
||
~e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
O |
|
|
0 |
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
Рис. 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
|
|
|
||||
Тогда |
из |
|
|
|
|
|
−−→ |
|
|
|
OA |
|
cos ϕ = |
~a |
cos ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|
|||||||
( |
|
4 |
OAA0) |
|
( |
OA0 |
| |
= |
| |
−→ |
| · |
|
Опр.103| | · |
|
|
|
|||
|
|
|
(2.1) |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
(пр~e ~a > 0) (|пр~e ~a| |
= |
пр~e ~a) |
|
|
||||||||||||
(~e ↑↑ a0) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(пр~e ~a = |~a| cos ϕ). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
•First |
•Prev |
•Next |
•Last |
•Go Back •Full Screen |
•Close •Quit |
|||||||
3. ϕ = π2 .
A |
|
|
~a |
ϕ |
|
O A0 |
O A0 |
~e |
~e |
|
|
|
~a |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Рис. 15 |
|
|
|
|
Рис. 16 |
||
Тогда |
|
−−→ |
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
= |
|
|
= 0 , т.к. |
O ≡ |
A0 |
, и пр ~a = 0. |
|||
a |
| |
| |
OA0 |
| |
|||||||
| 0 |
|
|
|
|
|
π |
~e |
||||
Следовательно пр~e ~a = |~a| cos |
2 |
= 0. |
|||||||||
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
4. |
π < ϕ < π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
a~ |
O~e |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A0 |
0 |
|
|
|
|
O~e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(из |
4 |
OAA0) |
|
( OA−−→0 |
| |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OA |
|
|
cos (π |
|
|
ϕ) = |
|
|
~a |
|
cos ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| · |
|
(2.1) |
− |
|
|
−| | · |
( пр ~a |
|
Опр. |
пр ~a) |
|
|
||||||||||
|
(~e |
|
|
|
a~ ) |
|
|
(пр ~a < 0) |
|
|
|
=103 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
~e |
|
|
|
~e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| |
|
− |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(пр~e ~a = |~a| cos ϕ). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First |
•Prev •Next |
•Last •Go Back |
•Full Screen |
•Close •Quit |
||||||||||
5. ϕ = π. |
a~ |
~e |
A0 |
||
|
0 |
|
A |
~a |
O |
|
|
Рис. 19 |
Тогда |
|
|
(ϕ = π)
↑↓ ~0
(~e a )
(2.1)
(~a = a~0) |
(2.1) |
( |
OA−−→0 |
| |
= ~a ) |
|
(2.2) |
|
|
|
| |
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр.103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(пр~e ~a < 0) (|пр~e ~a| |
= |
|
||||||
−пр~e ~a) |
|
|||||||
(пр~e ~a = |~a| cos ϕ).
Мы показали, что во всех возможных случаях теорема 13 верна.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit