ALGEBRA

−−→ −−→

Направленные отрезки OA1, OB1 задают век-

тора ~ , соответственно. Из определения

~a1, b1

операции сложения геометрических векторов

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть векторы ~ линейно зависимы.

~a, b, ~c V3

Тогда, по теореме 1 следует, что ~ ~c = α~a + βb.

Но это означает компланарность векторов.

Достаточность. Пусть векторы ~

~a, b, ~c V3

компланарны, то есть существует плоскость

векторы линейно зависимы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 10.1. Eсли три ненулевых геометрических вектора пространства V3 некомпланарны, то они и линейно независимы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eсли векторы ~ неколлинеарны, то

~a, b V2(π)

их можно взять в качестве базиса и разложить по нему любой вектор ~x этого пространства:

вектора ~x относительно этого базиса. Пишут

фиксирован и не меняется, то пишут

~x = (x1, x2).

Разложение вектора по базису

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

В пространстве V2(π) имеет место

Теорема 11. При сложении векторов их координаты относительно одного и того же базиса складываются, а при умножении на число – умножаются на число.

( Теорема есть частный случай теоремы 5). ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 12. dim V3 = 3.

Доказательство. 1. Любые три некомпланарных вектора из V3 линейно независимы (см. Теорема 10).

2. Пусть a~1, a~2, a~3, a~4 V3 произвольных четыре вектора.

Возможны два случая:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

a) Среди векторов a~1, a~2, a~3, a~4 V3 есть три компланарных, например, векторы a~1, a~2, a~3 V3 компланарные вектора. Тогда, по теореме 10, система a~1, a~2, a~3 – линейно зависима. В силу теоремы 2, система векторов a~1, a~2, a~3, a~4 V3 линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

−−→

Направленные отрезки OBi задают векторы

~ , i = 1, 2, 3, соответственно. Из определе- bi

ния операции сложения векторов следует, что

Так как ~ (П ), то, по теореме 8, име- a~i, bi V1 i

ем ~ · , где и i = 1, 2, 3. Отсюда bi = xi a~i xi R

получаем, учитывая (1.10), что

a~4 = x1 · a~1 + x2 · a~2 + x3 · a~3.

По теореме 1 система векторов a~1, a~2, a~3, a~4 линейно зависима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit