ALGEBRA

Пусть задан ненулевой ~a V3 и O произволь-

рическим вектором ~e ↑↑ ~a;

4. За масштаб на прямой П выберем дли-

−−→

ну отрезка OE.

Пунктами 1 – 4 мы определили ось, которую будем называть

осью определяемой вектором ~a.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Обратите внимание на то, что базисный вектор оси имеет единичную длину. Проекция вектора на ось

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 68. Дан модуль геометрического вектора |~a| = 4 и угол T (~aˆ~e) = 120◦, где ~e – базисный вектор оси. Вычислить проекцию гео-

метрического вектора ~a на ось.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.3.Декартов базис

Понятие угла между двумя векторами в V3, позволяет среди всех базисов линейного про-

странства V3 выделить специальные базисы, состоящие из взаимно ортогональных векто-

ров. Такие базисы обладают хорошими свойствами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 31. Базис (e~1, e~2, e~3) в V3 называется декартовым базисом, если он состоит из единичных взаимно ортогональных векторов, т.е. e~1 e~2, e~1 e~3, e~2 e~3 и

|e~1| = |e~2| = |e~3| = 1.

Декартов базис пространства V3, принято обо-

значать ~ Координаты вектора, относи-

(~ı,~|, k).

тельно декартова базиса, называются декартовыми координатами.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 14. Декартовы координаты вектора ~a V3, равны ортогональным проекциям этого вектора на оси, определяемые векторами декартова базиса, соответственно.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть задан ~ базис в

(~ı,~|, k)

V3 и O произвольная точка.

Пусть, далее, ~ ~a = x~ı + y~| + zk.

Построим три оси, определяемые базисными

векторами, с общей точкой отсчёта O. S

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

−−→

Направленные отрезки OAn задают вектора b~n, n = 1, 3, причём S

В силу единственности разложения вектора по базису (см. теорему 4), имеем,

x = пр~ı~a, y = пр~| ~a, z = пр~ ~a.

k

Теорема доказана.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 15. Имеет место линейное свойство проекции вектора на ось,

пр~e (α~a + β b) = α пр~e ~a + β пр~e b.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Выберем, декартов базис

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit