ALGEBRA
.pdf
Определение 16. Вектор нулевой длины, называется нулевым. Нулевой вектор не имеет определенного направления. Обозначают
нулевой вектор символом ~
0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 17. Вектор ~a называется коллинеарным прямой П (плоскости π), если, откладывая вектор от любой точки прямой П (плоскости π), получим направленный отрезок, принадлежащий прямой (плоскости).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 18. Векторы, коллинеарные одной и той же прямой, называются коллинеарными.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Различают среди коллинеарных |
векторов |
||
одинаково направленные векторы |
~a ↑↑ |
~ |
и |
b |
|||
противоположно направленные ~a |
~ |
|
|
↑↓ b. |
|
|
|
Определение 19. Векторы, коллинеарные одной и той же плоскости, называются компланарными.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Линейное пространство геометрических векторов.
На множестве V введём линейную структуру, определяя на этом множестве две операции:
•операцию сложения геометрических векторов;
•операцию умножения геометрического вектора на число.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Операция сложения векторов.
~ |
|
|
Пусть ~a, b V. |
|
|
От произвольной точки A отложим век- |
||
тор ~a и получим направленный отрезок |
||
−→ |
|
|
AB. |
~ |
|
|
и полу- |
|
От точки B отложим вектор b |
||
чим направленный отрезок |
−−→ |
S |
BC. |
||
−→ |
задаёт гео- |
|
Направленный отрезок AC |
||
метрический вектор, который называ- |
||
~ |
|
ется суммой векторов ~a и b. |
|
~ |
~ |
Сумму векторов ~a и b будем обозначать ~a + b.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В определении операции сложения векторов присутствует произвольная точка A.
Вопрос: Зависит ли результат сложения двух векторов от выбора точки A?
Ответ: Нет, не зависит. Покажите это. Проверим справедливость аксиом A1-A4.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Аксиома |
~ |
~ |
|
|
|
A1: ~a + b = b + ~a. |
|
|
|||
|
|
~a |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
b |
C |
|
D |
C |
|
|
|
|||
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
A |
~a |
B |
A |
~a |
B |
|
Рис. 2 |
|
Рис. 3 |
||
Правило параллелограмма. От точки A отло- |
|||||
|
|
~ |
|
|
|
жив векторы ~a и b, полученные отрезки возь- |
|||||
мём за стороны параллелограмма ABCD (см. |
|||||
рис. 3), направленный отрезок AC задаёт век- |
|||||
|
~ |
|
|
|
−→ |
тор ~a + b. |
|
|
|
||
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
||
Аксиома A2: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
(~a + b) + ~c |
|
~a + (b + ~c) |
|
|
|
||||
|
| |
{z |
} C |
|
| |
{z |
} |
C |
|
|
|
|
|
~c |
|
|
|
|
~c |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
O |
~a |
|
A b |
O |
~a |
A b |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
Рис. 5 |
|
|
|
||
Из рис. 4 и рис. 5 видно, что направленный |
||||||||||
отрезок OC задаёт векторы |
|
~ |
+ ~c |
и |
||||||
|
|
|
−→ |
|
|
~a + b |
|
|
||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~a + b + ~c . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
•First •Prev •Next |
•Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
||||
Аксиома A3: Если нулевой вектор отложить от точки B, то получим направленный отрезок нулевой длины, т.е. точку B. Это означает, что для любого геометрического вектора ~a:
~
~a + 0 = ~a.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit