ALGEBRA
.pdf
~ |
некомпланарны, то |
Eсли векторы ~a, b, ~c V3 |
их можно взять в качестве базиса и разложить по нему любой вектор ~x этого пространства:
|
~x = x1 · ~a + x2 · |
~ |
|
|
|
b + x3 · ~c, |
|
||
где числа |
x1, x2, x3 – координаты |
вектора |
||
~x относительно |
этого базиса. Пишут ~x = |
|||
(x1, x2, x3) |
~ |
в базисе |
~ |
Eсли ба- |
(~a, b, ~c). |
||||
|
(~a, b,~c) |
|
|
|
зис фиксирован и не меняется, то пишут
~x = (x1, x2, x3).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T |
T |
T |
Пример 40. В линейном пространстве V3 фиксирован базис (e~1, e~2, e~3) и заданы два коллинеарных геометрических вектора
− − и ~ −
~a = ( 3, 2, 3) b = (3, 2, 3).
Найдите отношение их длин.
Пример 41. В линейном пространстве V3 фиксирован базис (e~1, e~2, e~3). Определите, при каких значениях α и β геометрические векторы ~a =
~ |
+ βe~2 |
− 3e~3 |
коллинеарные. |
αe~1 − 3e~2 + e~3 и b = 6e~1 |
Пример 42. В линейном пространстве V3 фиксирован базис (e~1, e~2, e~3). Направленные отрезки AB и AC задают геометрические векторы ~a
|
|
−→ |
−→ |
|
= |
( 9, 3, |
4) |
и ~ |
AM медиана треугольника |
|
и задаёт |
b = (13, 1, 2). |
−−→ |
ABC |
|
||
− |
− |
|
|
|
геометрический вектор ~c = (x, y, z). Найдите координаты вектора ~c.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T |
Пример 43. В линейном пространстве V3 фиксирован базис (e~1, e~2, e~3)
и заданы два геометрических вектора − − и ~ − − −
~a = (3, 2, 5) b = ( 2, 3, 4).
Найдите координаты геометрического вектора − − ~ ~c = 2~a 2b.
Пример 44. Фиксированы плоскость π и базис (e1, e2) в пространстве V2(π). Даны три геометрических вектора p~ = (−2, 1), ~q = (−4, 0) и ~a =
T(−2, 1) своими координатами относительно базиса (e1, e2). Доказать, что векторы p~ и ~q можно взять за новый базис в пространстве V2(π). Найти разложение геометрического вектора ~a по базису (p,~ ~q).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1.7.Пространство комплексных чисел
Обозначим через P := {(x, y) | x, y R} множество упорядоченных двоек (упорядоченных пар). Удобной геометрической интерпретаци-
ей этого множества является плоскость с введённой на ней декартовой системой координат
Oxy, т.е. координатная плоскость πR2. Определяя линейное пространство R2, мы на множестве P с помощью двух операций ввели линейную структуру. Другими словами пространство R2 можно определить так:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 20. Множество P с введёнными на нём двумя операциями:
1. (x1, y1), (x2, y2) P :
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
(операция сложения упорядоченных пар);
2. (x, y) P и α R : α · (x, y) = (αx, αy)
(операция умножения числа на упорядоченную пару)
называется линейным пространством R2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Геометрическая интерпретация пространства R2 – плоскость с введённой на ней декартовой системой координат Oxy, т.е. координатная плоскость πR2.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 21. Множество P с введёнными на нём тремя операциями:
1. (x1, y1), (x2, y2) P :
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
(операция сложения упорядоченных пар);
2. (x, y) P и α R : α · (x, y) = (αx, αy)
(операция умножения числа на упорядоченную пару)
3. (x1, y1), (x2, y2) P :
(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)
(операция умножения упорядоченных пар)
называется пространством комплексных чисел (обозначается C).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 22. Элементы пространства C
называются комплексными числами и обозначаются: z или (x, y) или z = (x, y).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пространство C – линейное пространство (линейная структура задаётся первыми двумя операциями).
Но с упорядоченными парами можно выполнять ещё третью операцию (операция умно-
жения комплексных чисел).
Что нового привносит эта операция?
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Обозначим через
Cr = {z C|z = (x, 0), x R} C.
Элементы множества Cr, как упорядоченные пары, изображаются точками оси Ox координатной плоскости πR2. Пусть (α, 0) Cr, где α R фиксировано. Tогда (x, y) C имеем
3. |
2. |
|
(α, 0) · (x, y) = (αx, αy) = α · (x, y), |
(1.11) |
|
|
т.е. (α, 0) ≡ α R. |
|
Ось Ox называется ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСЬЮ (точками этой оси изображаются вещественные числа).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit