ALGEBRA

Вычисляя при k = 0, 1, 2 по формуле (1.15) получаем:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Геометрически найденные значения корня 3-й степени из комплексного числа z = reiπ изображаются на плоскости πR2z вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиу-

сом, равным единице (см. S). √

Если известно одно значение 3 −1, то все остальные значения (1.17) можно вычислить более рационально, придерживаясь следующей схемы:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•одно значение, а именно z1 = −1, известно;

•на плоскости πR2z рисуем окружность с центром в начале координат и радиусом равным единице (см. S);

•отмечаем на окружности точку z1;

•делим окружность на три части, включая в точки деления уже нарисованную точку z1;

•опираясь на рис. S, находим значения z0 и z2 = z¯0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Замечание. Многие математики первой половины XIX в. настойчиво стремились обобщить алгебру двумерных комплексных чисел на пространство трех измерений. Опираясь на определение 21 это сделать, кажется, совсем не трудно. Первые две операции – это операции с помощью которых вводится линейная структура в R3. Осталось придумать операцию перемножения упорядоченных троек!

Но эта задача только на первый взгляд кажется простой (см. триплеты, кватернионы).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Задачи для практических занятий.

Пример 47. Найти действительную и мнимую части комплексного числа z =

1−1 i.

Пример 48. Найти действительную и мнимую части комплексного числа z =

1−i 3 .

1+i

Пример 49. Найти действительную и мнимую части комплексного числа z =

(1+i)5 (1−i)3 .

Пример 50. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = 3.

Пример 51. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = −3.

Пример 52. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = i.

Пример 53. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = (−4 + 3i)3.

Пример 54. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = −1 + i.

Пример 55. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = − cos π7 + i sin π7 .

Пример 56. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = (1+i)8(1−i√3)−6.

Пример 57. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = −1 − i.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

i n

Пример 58. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = 1 + n .

Пример 59. Найти модуль и аргумент комплексного числа

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Глава 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.1.Угол между геометрическими

векторами

рами всегда считается положительным и обо-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2.2.Проекция геометрического вектора

на ось

4. единица масштаба |ОE| = 1.

Eдиничный вектор ~e V1(П), задаваемый на-

−−→

правленным отрезком OE , возьмём за базис в линейном пространстве V1(П) и будем назы-

вать базисным вектором оси. S

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 28. Ортогональной проекцией точки A на ось называется точка A0 пересечения прямой П с плоскостью, проходящей

через точку A перпендикулярно прямой П. S

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit