ALGEBRA
.pdf
Преобразование декартовых координат в |
||||
|
V2(π). |
|
||
Пусть (Oс,~ıс,~|с), |
π |
|
||
(Oн,~ıн,~|н) – две пра- |
|
~|с |
|
|
|
ϕ |
~|н |
||
вые декартовы систе- |
|
Oн |
|
|
|
|
~ıс |
||
мы координат в про- ~|с |
|
|||
~rOсн |
~ıн |
|||
странстве V2(π), ко- |
|
|
||
торые будем назы- Oс |
~ıс |
|
||
вать “старой” и “но- |
|
Рис. 25 |
|
|
вой”, |
соответственно. |
|
|
|
|
•First •Prev |
|
•Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
|
“Новую” систему координат можно получить в два этапа:
1.поместить начало “старой” системы координат в точку Oн(a, b) (параллельный перенос);
2.повернуть на угол ϕ против часовой стрелки до совпадения с “новой” (поворот ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xн = (xс |
|
|
a) cos ϕ + (yс |
|
|
b) sin ϕ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
ϕ < 2π. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(xс |
|
|
a) sin ϕ + (yс |
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
||||
yн = |
− |
− |
− |
b) cos ϕ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xс = a + xн cos ϕ |
|
yн sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
ϕ < 2π. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
yс = b + xн sin ϕ + yн cos ϕ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, нами получен закон изменения коорди- |
||||||||||||||||||
нат точки при переходе от одной декартовой |
||||||||||||||||||
системы координат к другой декартовой си- |
||||||||||||||||||
стеме координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
•First |
•Prev •Next |
•Last |
•Go Back |
•Full Screen |
•Close •Quit |
|||||||
2.6.Скалярное произведение
Влинейном пространстве V3 определим новую операцию – скалярное произведение геометрических векторов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 39. Скалярным произведением двух ненулевых геометрических векторов ~a
и ~ называется число, обозначаемое ~ рав- b (~a, b),
ное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е.
~ |
~ |
~ |
|
|
|
(~a, b) = |
|~a||b| cos(~aˆb). |
~ |
|
||
Eсли хотя бы один из векторов ~a или |
ну- |
||||
b |
|||||
левой, то скалярное произведение полагается равным нулю.
Скалярное произведение
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Геометрические свойства скалярного
|
произведения. |
|
|
Теорема 18. |
~ |
~ ~ |
~a. |
(~a, b) = |~a| · пр~a b = |b| · пр~b |
|||
(см. формулу (2.3) и определение 39 ). Скалярное произведение
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 19. Eсли |~a| |
~ |
||
=6 0 и |b| =6 0, то: |
|||
~ |
|
|
~ |
(~a, b) > 0, |
тогда и только тогда, когда (~aˆb) |
||
– острый; |
|
||
~ |
|
|
~ |
(~a, b) < 0, |
тогда и только тогда, когда (~aˆb) |
||
– тупой; |
|
|
|
~ |
= |
0, тогда и |
только тогда, когда |
(~a, b) |
|||
~ |
π |
|
|
(~aˆb) = 2 . |
|
||
Это свойство следует очевидным образом из определения 39 скалярного произведения.
Скалярное произведение
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
s
Теорема 20. |~a| = (~a,~a).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Алгебраические свойства скалярного произведения.
Теорема 21. |
~ |
~ |
(~a, b) = (b,~a). |
||
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 22. |
~ |
~ |
(~a, b + ~c) = (~a, b) + (~a,~c). |
||
Доказательство.
~
(~a, b + ~c)
T.18 |
~ |
T.15 |
= |
|~a|пр~a (b + ~c) |
= |
|
~ |
T.18 |
= |~a|пр~a b + |~a|пр~a ~c =
~
= (~a, b) + (~a,~c);
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit