ALGEBRA
.pdf
Теорема 23. Для любого λ R:
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
(λ~a, b) = λ(~a, b). |
||||
Доказательство. |
|
|
|
|||
~ |
T.18 |
~ |
|
T.15 |
|
|
(λ~a, b) |
= |
|b|пр~b |
(λ~a) |
= |
|
T.18 |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
= λ|b|пр~b |
~a |
= |
|
~
λ(~a, b).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 24. |
2 |
~ |
~ ~ |
(~a,~a) = |~a| |
при ~a 6= 0 |
и (0, 0) = 0. |
Утверждения теоремы 21 и теоремы 24 очевидны.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Скалярное произведение в декартовых координатах.
Пусть фиксированы, декартов базис |
~ |
и |
(~ı,~|,k) |
два геометрических вектора
~
~a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) V3.
Найдём ~ :
(~a, b)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
~
(~a, b) =
|
~ |
~ |
T.22,T.23 |
= (x1~ı + y1~| + z1k, x2~ı + y2~| + z2k) |
= |
||
|
|
|
~ |
= x1x2(ı,~) + x1y2(~ı,~|) + x1z2(~ı, k)+ |
|||
|
|
|
~ |
+ y1x2(|,~ı) + y1y2(~|,~|) + y1z2(~|, k)+ |
|||
~ |
~ |
~ ~ |
Опр.39 |
+ z1x2(k,~ı) + z1y2(k,~|) + z1z2(k, k) =
= x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2. (2.7)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
~ |
· x2 |
+ y1 |
· y2 + z1 · z2. |
(~a, b) = x1 |
Итак, скалярное произведение двух векторов, заданных декартовыми координатами, равно
сумме произведений одноимённых декартовых координат. В этой простой вычислительной формуле, проявляются хорошие свойства де-
картового базиса. Eсли геометрические векторы заданы декартовыми координатами, то с помощью скалярного произведения можно находить:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1. Длину вектора.
Пусть ~ Тогда
~a = x~ı + y~| + zk.
|
|
= s |
|
= s |
|
|
|
|
~a |
| |
|
x2 |
+ y2 + z2. |
(2.8) |
|||
(~a,~a) |
||||||||
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2. Расстояние между двумя точками. Пусть фиксированы декартова система коор-
динат ~ пространства и две точки
(O,~ı,~|, k) V3
M(xM , yM , zM ), N(xN , yN , zN ). Обозначим че-
рез ~a вектор задаваемый направленным отрез-
−−→
ком MN. Тогда
~a = (xN − xM , yN − yM , zN − zM )
относительно базиса ~ и
(~ı,~|, k)
MN |
= ~a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|−−→| |
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v |
|
|
|
|
x ) |
2 |
+ (y |
|
|
y ) |
2 |
+ (z |
|
|
|
2 |
. |
= u(x |
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
z ) |
||||||||
t |
|
N |
M |
|
|
N |
M |
|
|
N |
M |
|
|
||||
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
||
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3. Проекцию одного вектора на ось определяемую другим вектором.
~ |
~ |
|
|
(~a, b) |
(2.10) |
||
пр~a b = |
|
. |
|
|
|||
|
|~a| |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
4. Угол между векторами.
~ |
~ |
|
|
(~a, b) |
(2.11) |
||
cos(~aˆb) = |
|
. |
|
~ |
|||
|
|~a| · |b| |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
5. Направляющие косинусы вектора.
Определение 40. Косинусы углов между вектором и осями декартовой системы координат, называются направляющими косинусами.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit