- •1 Основні поняття теорії похибок
- •1.1 Поняття похибки
- •1.2 Дії над наближеними числами
- •1.3 Пряма та обернена задачі теорії похибок
- •1.3 Джерела похибок обчислень
- •2 Обчислення значень функцій
- •2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера
- •2.2 Наближене знаходження сум числових рядів
- •2.3 Обчислення значень аналітичної функції
- •2.4 Обчислення значень показової функції
- •2.5 Обчислення значень логарифмічної функції
- •2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій
- •3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •3.1 Концепція методів
- •3.2 Метод простої ітерації
- •3.3 Метод Гаусса-Зейделя
- •4 Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь
- •1. Етап відділення кореня: на цьому етапі відділяється корінь, тобто знаходиться такий відрізок, усередині якого міститься точно один корінь і з цього відрізка береться початкове наближення кореня.
- •2. Етап уточнення кореня: на цьому етапі послідовно уточнюють корінь, тобто знаходять значення із заданою точністю .
- •4.1 Відділення коренів
- •4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії)
- •4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин)
- •4.4 Метод Ньютона (метод дотичних)
- •4.5 Комбінований метод
- •4.6 Метод ітерації
- •4.7 Метод ітерації для системи двох рівнянь
- •5 Обробка емпіричних даних
- •5.1 Інтерполяція та екстраполяція
- •5.2 Концепція інтерполяції та екстраполяції
- •5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції
- •5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
- •5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона
- •5.6 Апроксимація
- •При цьому вимагається, щоб
- •Побудуємо емпіричний точковий графік.
- •Візуальний аналіз побудови дозволяє обрати на роль апроксимуючої функції квадратичну параболу
- •6 Наближене обчислення визначених інтегралів
- •6.1 Концепція чисельного інтегрування
- •6.2 Методи прямокутників та трапецій
- •6.3 Метод Симпсона
- •6.4 Метод Монте-Карло
4.4 Метод Ньютона (метод дотичних)
Нехай корінь рівняння
(4.12)
Відділений на відрізку , причому та неперервні та зберігають сталі знаки при . Знайшовши яке-небудь -е наближене значення кореня , ми можемо уточнити його методом Ньютона по формулі:
. (4.13)
Геометрично метод Ньютона еквівалентний заміні невеликої дуги кривої дотичною, проведеною в деякій точці кривої. Справді, покладемо для визначеності, що при та (рис. 4.5).
Виберемо, наприклад, , для якого . Проведемо дотичну до кривої в точці .
Для першого наближення кореня візьмемо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю . Через точку знову проведемо дотичну, абсциса точки перетину якої з віссю дасть нам друге наближення кореня і т. д. (рис. 4.5).
Рис. 4.5
Очевидно, що рівняння дотичної в точці є
.
Поклавши , отримаємо формулу (4.13):
.
Зауважимо, що, якщо у нашому випадку покласти і, отже, , то, провівши дотичну до кривої в точці , ми отримали б точку (рис. 4.5), що лежить поза відрізком , тобто при такому виборі початкового значення метод Ньютона не приведе до мети. Таким чином, у даному випадку «хорошим» початковим наближенням є таке, для якого виконується нерівність
(4.14).
Це правило є загальним для методу Ньютона.
Зауваження 1. Якщо: 1) функція визначена і неперервна при ; 2) ; 3) при ; 4) існує всюди і зберігає сталий знак, то при застосуванні методу Ньютона для знаходження кореня рівняння , який лежить у інтервалі , за початкове наближення можна прийняти будь-яке значення . Зокрема, можна покласти або .
Зауваження 2. З формули (4.13) видно, що чим більше числове значення похідної у околі даного кореня, тим менша поправка, яку треба додати до -го наближення, щоб отримати -е наближення. Тому метод Ньютона особливо зручно застосовувати тоді, коли у околі даного кореня графік функції має велику крутизну. Якщо ж чисельне значення похідної біля кореня мале, то поправки будуть великими, і обчислення кореня за методом Ньютона може виявитися дуже довгим, або і взагалі неможливим. Отже, якщо крива біля точки перетину з віссю майже горизонтальна, то застосовувати метод Ньютона для розв’язування рівняння не рекомендується.
Для оцінки похибки -гo наближення знову можна скористатися формулою
(4.15),
де — найменше значення на відрізку .
Має місце ще одна формула для оцінки точності наближення :
(4.16).
Отже, якщо задатися якоюсь точністю , то обчислення за методом Ньютона можна виконувати до тих пір, коли різниця між двома сусідніми наближеннями за абсолютною величиною стане меншою від . А потім прийняти значення кореня рівняння рівним останньому наближенню.
Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з п’ятьма вірними знаками.
Розв’язок.
Послідовно приймаючи у лівій частині рівняння , отримаємо .
Отже, шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Звузимо знайдений інтервал. Так як , то .
Перша та друга похідні:
У останньому знайденому інтервалі похідні зберігають сталі знаки: та . Так як і , то можемо прийняти за початкове наближення . Послідовні наближення обчислюємо за такою схемою:
|
|
|
|
|
0 |
-11 |
3453 |
-5183 |
0,7 |
1 |
-10,3 |
134,3 |
-4234 |
0,03 |
2 |
-10,27 |
37,8 |
-4196 |
0,009 |
3 |
-10,261 |
0,15 |
-4185 |
0,00004 |
Так як поправка є фактично різницею між двома сусідніми наближеннями кореня, то можна покласти .
Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю .
Розв’язок. Побудувавши графіки функцій та (рис. 4.6), робимо висновок, що шуканий корінь знаходиться в інтервалі . Перепишемо рівняння у вигляді , матимемо:
Рис. 4.6
Звідси та при . Так як , то за початкове наближення можна прийняти . Обчислення виконуємо за наступною схемою:
|
|
|
|
|
0 |
|
-1 |
-4,712 |
|
1 |
|
-0,0291 |
-4,399 |
|
2 |
|
-0,00003 |
----- |
|
Надаємо можливість читачу самостійно здійснити оцінку похибки наближеного значення .