Побудуємо емпіричний точковий графік.

Рис. 5.6 – Емпіричний точковий графік

Візуальний аналіз побудови дозволяє обрати на роль апроксимуючої функції квадратичну параболу

.

Тобто m=2, n=4.

Система рівнянь для визначення коефіцієнтів :

Для розрахунку коефіцієнтів системи лінійних рівнянь складемо допоміжну таблицю.

0	0,75	2,5	0,5625	0,421875	0,31640625	1,875	1,40625
1	1,5	1,2	2,25	3,375	5,0625	1,8	2,7
2	2,25	1,12	5,0625	11,390625	25,62890625	2,52	5,67
3	3	2,25	9	27	81	6,75	20,25
4	3,75	4,28	14,0625	52,734375	197,7539063	16,05	60,1875
Сума	11,25	11,35	30,9375	94,921875	309,7617188	28,995	90,21375

Коефіцієнти обчислюються по формулах

, , ,

, , ,

, , ,

, , .

Отримуємо наступну систему рівнянь:

З якої знаходимо

_{Маємо апроксимуючу функцію:}

_.

Рис. 5.7 – Емпіричний точковий графік та апроксимуюча функція

Зауваження:

1. З формул обчислення коефіцієнтів видно, що матриця системи нормальних рівнянь є симетричною, більше того, всі її коефіцієнти однакові при к+l=const.

2. Розв’язки системи нормальних рівнянь дуже чутливі до коефіцієнтів цієї системи, тому вони (розв’язки) можуть істотно змінюватися при навіть незначних змінах цих коефіцієнтів. Тому бажано не округлювати розраховані коефіцієнти .

6 Наближене обчислення визначених інтегралів

Чисельні методи звичайно застосовуються при обчисленні інтегралів, які не беруться, або мають складні підінтегральні функції.

6.1 Концепція чисельного інтегрування

Усі чисельні методи інтегрування будуються на тому, що підінтегральна функція наближено замінюється більш простою (горизонтальною або похилою прямою, параболою 2-го, 3-го або більш високого порядку), від якої інтеграл легко береться. В результаті виходять формули інтеграції, звані квадратурою, у вигляді зваженої суми ординат підінтегральної функції в окремих точках:

.

Чим менші інтервали, на яких проводять заміну, тим точніше обчислюється інтеграл. Тому початковий відрізок [а,b] для підвищення точності ділять на декілька рівних або нерівних інтервалів, на кожному з яких застосовують формулу інтеграції, а потім додають результати.

Всі методи розрізняються значеннями ординат і ваг .

В більшості випадків похибка чисельного інтегрування визначається шляхом подвійного інтегрування: з початковим кроком (крок визначається шляхом рівномірного поділу відрізка на число відрізків : ) і з кроком, збільшеним в 2 рази. Різниця обчислених значень інтегралів визначає похибку.

Порівняння ефективності різних методів проводиться за степенем полінома, який даним методом інтегрується точно, без помилки. Чим вища степінь такого полінома, тим вища точність методу, тим він ефективніший.