5.6 Апроксимація
У процесі обробки емпіричних даних необхідно враховувати помилки цих даних. Ці помилки умовно можна розділити на 3 групи за їх походженням і величиною: систематичні, випадкові, грубі.
Систематичні помилки звичайно дають відхилення в одну сторону від істинного значення. Вони можуть бути постійними або закономірно змінюватися від експерименту до експерименту, їх причини і характер відомі. Ці помилки викликаються умовами експерименту (температура, вологість тощо), дефектом вимірювального приладу і т.д. Ці помилки можна врахувати і виправити.
Випадкові помилки визначаються великим числом чинників і не можуть бути усуненими і врахованими. Вони мають випадковий характер і не повторюються від експерименту до експерименту. Багатократне повторення експерименту дозволить оцінити величину цієї випадкової помилки.
Грубі помилки явно спотворюють результат вимірювання, вони надмірно великі і, як правило, зникають при повторенні досвіду.
Враховуючи
вищевикладене, немає сенсу будувати
інтерполяційний многочлен, що проходить
точно через отримані точки. Достатньо
побудувати наближену (апроксимуючу)
функцію
,
яка в цілому найбільш близько проходить
біля даних точок початкової функції
.
Апроксима́ція (лат. approximare — наближати) — наближене вираження одних математичних об'єктів іншими, простішими, наприклад, кривих ліній – ламаними, ірраціональних чисел – раціональними, неперервних функцій – многочленами тощо.
Побудова апроксимуючої залежності за експериментальними даними складається з 2-х етапів:
підбір загального виду апроксимуючої залежності;
визначення найкращих значень параметрів цієї залежності.
Якщо характер залежності невідомий, то експериментальні точки наносять на графік і приблизно вибирають залежність з геометричних міркувань шляхом порівняння її з відомими функціями (лінійної, показової, логарифмічної, степеневої тощо). Успіх визначається досвідом і інтуїцією дослідника.
Після визначення формули у вигляді
(5.13)
необхідно
знайти такі параметри
,
при
яких формула дала
б
добре наближення до виміряних даних,
не обов'язково проходячи через
ці
точки.
Міра наближення для різних видів апроксимацій може бути різною. Так, при рівномірному наближенні за міру наближення використовують різницю (відхилення) між значеннями апроксимуючої функції і початкової у всіх точках деякого відрізка :
(5.14)
При цьому вимагається, щоб
.
(5.15)
В цьому випадку говорять, що функція рівномірно апроксимує функцію на відрізку .
Проте у ряді випадків не потрібна така досить жорстка вимога до відхилень, особливо при обробці експериментальних даних. Тим більше, побудова апроксимуючої функції, яка задовольняє умовам рівномірного наближення, пов’язана зі значними технічними труднощами. Цілком прийнятне так зване середньоквадратичне наближення, яке згладжує деякі неточності функції і дає достатньо правильне уявлення про неї (рис. 5.5).
а) б)
Рис. 5.5 – рівномірне а), і середньоквадратичне б) наближення
Мірою відхилення в цьому випадку є величина S, рівна сумі квадратів різниць між значеннями функцій і у всіх заданих точках:
(5.16)
При
цьому необхідно підібрати коефіцієнти
так, щоб величина S була
мінімальною. В цьому полягає метод
найменших квадратів (МНК). Тобто задача
знаходження коефіцієнтів (параметрів)
функції
зводиться
до
деякої
мінімізації
відхилень
.
Побудова апроксимуючої залежності.
Існує декілька методів розв’язування задачі побудови апроксимуючої залежності.
Найпростіший з них – метод вибраних точок. Він складається з наступних етапів:
- отримані експериментальні точки наносять на координатну площину;
проводиться найпростіша плавна лінія, що максимально близько примикає до експериментальних точок;
вибираються на цій лінії точки і записуються їх координати (число точок дорівнює числу коефіцієнтів вибраної апроксимуючої функції);
складається для цих точок система рівнянь і визначаються з неї коефіцієнти функції.
Метод
середніх.
Він полягає в тому, що параметри
залежності (5.13) визначаються з умови
рівності нулю суми відхилень (5.14) у всіх
точках
:
Отримане
рівняння використовується для визначення
коефіцієнтів
.
Оскільки з одного рівняння не можна
визначити всі
коефіцієнтів, то ця сума розбивається
на
груп.
Наприклад
Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо невідомі коефіцієнти.
Метод
найменших квадратів (МНК).
Запишемо суму квадратів відхилень
(5.16) для всіх точок
:
Параметри (коефіцієнти) знаходимо з умови мінімуму як функції багатьох змінних . Необхідною умовою мінімуму є рівність нулю частинних похідних:
Розв’язуючи цю систему (нормальних) рівнянь з невідомими , знаходимо ці параметри апроксимуючої функції.
Приклад 1. У ролі апроксимуючої функції на практиці часто використовується многочлен
.
Тоді 
Звідки, після узяття частинних похідних, отримуємо систему лінійних рівнянь
Групуючи коефіцієнт при невідомих , отримаємо
Цю систему можна записати компактніше:
Приклад 2. Вивести емпіричну формулу для наведеної нижче табличної залежності f(х), використовуючи метод найменших квадратів МНК.
х |
0,75 |
1,50 |
2,25 |
3,00 |
3,75 |
у |
2,50 |
1,20 |
1,12 |
2,25 |
4,28 |