- •1 Основні поняття теорії похибок
- •1.1 Поняття похибки
- •1.2 Дії над наближеними числами
- •1.3 Пряма та обернена задачі теорії похибок
- •1.3 Джерела похибок обчислень
- •2 Обчислення значень функцій
- •2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера
- •2.2 Наближене знаходження сум числових рядів
- •2.3 Обчислення значень аналітичної функції
- •2.4 Обчислення значень показової функції
- •2.5 Обчислення значень логарифмічної функції
- •2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій
- •3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •3.1 Концепція методів
- •3.2 Метод простої ітерації
- •3.3 Метод Гаусса-Зейделя
- •4 Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь
- •1. Етап відділення кореня: на цьому етапі відділяється корінь, тобто знаходиться такий відрізок, усередині якого міститься точно один корінь і з цього відрізка береться початкове наближення кореня.
- •2. Етап уточнення кореня: на цьому етапі послідовно уточнюють корінь, тобто знаходять значення із заданою точністю .
- •4.1 Відділення коренів
- •4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії)
- •4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин)
- •4.4 Метод Ньютона (метод дотичних)
- •4.5 Комбінований метод
- •4.6 Метод ітерації
- •4.7 Метод ітерації для системи двох рівнянь
- •5 Обробка емпіричних даних
- •5.1 Інтерполяція та екстраполяція
- •5.2 Концепція інтерполяції та екстраполяції
- •5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції
- •5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
- •5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона
- •5.6 Апроксимація
- •При цьому вимагається, щоб
- •Побудуємо емпіричний точковий графік.
- •Візуальний аналіз побудови дозволяє обрати на роль апроксимуючої функції квадратичну параболу
- •6 Наближене обчислення визначених інтегралів
- •6.1 Концепція чисельного інтегрування
- •6.2 Методи прямокутників та трапецій
- •6.3 Метод Симпсона
- •6.4 Метод Монте-Карло
2 Обчислення значень функцій
При обчисленні за допомогою комп’ютерів значень функцій, заданих формулами, далеко не байдуже, у якому вигляді записана відповідна формула. Математично еквівалентні вирази часто виявляються нерівноцінними з погляду наближених обчислень. Тому виникає практично важлива задача про знаходження для елементарних функцій найбільш зручних аналітичних виразів. Обчислення значень функцій звичайно зводиться до послідовності елементарних арифметичних дій. З огляду на обмеженість об’єму пам’яті комп’ютера, бажано ці операції розбивати на повторювані цикли. Нижче ми розглянемо деякі типові прийоми обчислень.
2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера
Нехай задано поліном -го степеня
(2.1)
з дійсними коефіцієнтами . Нехай потрібно знайти значення цього полінома при (грецька буква «ксі»):
. (2.2)
Обчислення числа зручніше за все робити в такий спосіб. Представимо формулу (2.2) у вигляді:
.
Звідси, послідовно обчислюючи числа
(2.3)
знаходимо .
Неважко довести (спробуйте це зробити самостійно), що числа є коефіцієнтами полінома , отриманого як частку при діленні даного полінома на двочлен .
Таким чином, формули (2.3) дозволяють, не виконуючи ділення, визначати коефіцієнти частки , а також остачу . Практично обчислення здійснюються за наступною схемою, яка називається схемою Горнера:
Приклад 1. Обчислити значення полінома
при .
Розв’язок. Складемо схему Горнера:
Зауваження. Користуючись схемою Горнера, можна одержати границі дійсних коренів даного полінома .
Припустимо, що при всі коефіцієнти в схемі Горнера невід’ємні, причому перший коефіцієнт додатний, тобто
(2.4)
Тоді можна стверджувати, що всі дійсні корені полінома розташовані не правіше , тобто (рис. 2.1).
Рис. 2.1
Справді, тому що
,
то при кожному в силу умови (2.4) будемо мати , тобто будь-яке число, більше , завідомо не є коренем полінома . Таким чином, маємо верхню оцінку для дійсних коренів полінома.
Для одержання нижньої оцінки коренів складемо поліном
.
Для цього нового полінома знаходимо таке число , щоб всі коефіцієнти у відповідній схемі Горнера були невід’ємні, за винятком першого, котрий, очевидно, буде додатним. Тоді відповідно до попередніх міркувань для дійсних коренів полінома , очевидно, рівних , маємо нерівність .
Отже, . Таким чином, ми одержали нижню границю дійсних коренів полінома . Звідси випливає, що всі дійсні корені полінома розташовані на відрізку .
Приклад 2. Знайти границі дійсних коренів полінома
.
Розв’язок. Підрахуємо значення полінома , наприклад, при . Користуючись схемою Горнера, одержимо:
Тому що всі коефіцієнти , то дійсні корені полінома (якщо вони існують) задовольняють нерівності . Верхня границя дійсних коренів знайдена. Перейдемо до оцінки нижньої границі. Складемо новий поліном:
.
Підраховуючи значення полінома , наприклад, при , маємо:
Всі коефіцієнти , виходить, .
Отже, всі дійсні корені даного полінома перебувають усередині відрізка .