- •1 Основні поняття теорії похибок
- •1.1 Поняття похибки
- •1.2 Дії над наближеними числами
- •1.3 Пряма та обернена задачі теорії похибок
- •1.3 Джерела похибок обчислень
- •2 Обчислення значень функцій
- •2.1 Обчислення значень полінома. Схема Горнера
- •2.2 Наближене знаходження сум числових рядів
- •2.3 Обчислення значень аналітичної функції
- •2.4 Обчислення значень показової функції
- •2.5 Обчислення значень логарифмічної функції
- •2.6 Обчислення значень тригонометричних функцій
- •3 Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)
- •3.1 Концепція методів
- •3.2 Метод простої ітерації
- •3.3 Метод Гаусса-Зейделя
- •4 Розв’язування нелінійних алгебраїчних та трансцендентних рівнянь
- •1. Етап відділення кореня: на цьому етапі відділяється корінь, тобто знаходиться такий відрізок, усередині якого міститься точно один корінь і з цього відрізка береться початкове наближення кореня.
- •2. Етап уточнення кореня: на цьому етапі послідовно уточнюють корінь, тобто знаходять значення із заданою точністю .
- •4.1 Відділення коренів
- •4.2 Метод половинного поділу (метод дихотомії)
- •4.3 Метод хорд (спосіб пропорційних частин)
- •4.4 Метод Ньютона (метод дотичних)
- •4.5 Комбінований метод
- •4.6 Метод ітерації
- •4.7 Метод ітерації для системи двох рівнянь
- •5 Обробка емпіричних даних
- •5.1 Інтерполяція та екстраполяція
- •5.2 Концепція інтерполяції та екстраполяції
- •5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції
- •5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
- •5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона
- •5.6 Апроксимація
- •При цьому вимагається, щоб
- •Побудуємо емпіричний точковий графік.
- •Візуальний аналіз побудови дозволяє обрати на роль апроксимуючої функції квадратичну параболу
- •6 Наближене обчислення визначених інтегралів
- •6.1 Концепція чисельного інтегрування
- •6.2 Методи прямокутників та трапецій
- •6.3 Метод Симпсона
- •6.4 Метод Монте-Карло
5.3 Лінійна і квадратична локальні інтерполяції
Найпростішим видом локальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки з'єднуються прямолінійними відрізками, а функція апроксимується ламаною з вершинами в даних точках.
Для і-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки та у вигляді:
.
Звідси
(5.2)
Для визначення наближеного значення в середині будь-якого інтервалу, спочатку по значенню x визначають інтервал, а потім підставляють x в рівняння цього інтервалу.
Для випадку квадратичної інтерполяції як інтерполяційний многочлен на відрізку приймається квадратний многочлен .
Тут невідомими є вони знаходяться з умови проходження многочлена через три точки
. (5.3)
Інтерполяція для будь-якої точки х з інтервалу проводиться по трьох найближчих до неї вузлах.
На рис. 5.2 показано графіки локальних (лінійної та квадратичної) інтерполяційних функцій.
Рис. 5.2 – Лінійна та квадратична інтерполяція
Приклад: Знайти наближене значення функції при х=0,32, якщо відома таблиця її значень:
х |
0,15 |
0,30 |
0,4 |
0,55 |
у |
2,17 |
3,63 |
5,07 |
7,78 |
а) При лінійній інтерполяції х=0,32 знаходиться між вузлами 0,3 і 0,4. В цьому випадку
При маємо (рис. 5.3):
.
Рис. 5.3 – Лінійна локальна інтерполяція
б) При квадратичній інтерполяції складемо систему рівнянь для найближчих до точки х=0.32 вузлів:
відповідно
Маємо систему рівнянь:
Розв’язуючи цю систему, знаходимо:
Отже, інтерполяційна квадратична функція:
Тоді шукане значення в точці х=0,32 буде (рис. 5.4):
.
Рис. 5.4 – Квадратична локальна інтерполяція
5.4 Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
Нехай відомі значення функції в точках . Для інтерполяції функції в довільній точці , що належить відрізку , необхідно побудувати інтерполяційний поліном n-го порядку, який в методі Лагранжа має вигляд:
(5.4)
де
Якщо розкрити добутки всіх дужок в чисельнику (в знаменнику всі дужки є числами), то отримаємо поліном n-го порядку від х, тобто в чисельнику n співмножників першого порядку. Наступний поліном Лагранжа не що інше, як звичайний поліном n-го порядку, але записаний в іншій формі. Підставляючи l(x) у вираз для L(x), отримаємо
(5.5)
Неважко помітити, що у вузлах інтерполяції:
Оцінити похибку інтерполяції в точці (друга проблема інтерполяції) можна по формулі:
(5.6)
де - максимальне значення -ої похідної початкової функції f(x) на відрізку .
Отже, щоб оцінити похибку, треба знати , що не завжди можливо.
З формули (5.5) можна отримати вираз для лінійної і квадратичної інтерполяції без обчислення відповідних коефіцієнтів.
5.5 Глобальна інтерполяція. Многочлен Ньютона
У загальному випадку інтерполяція по формулах Ньютона може здійснюватися для довільно розташованих вузлів інтерполяції, але частіше – для рівномірно розташованих вузлів.
Тоді , де .
Метод використовує поняття скінчених різниць:
- різниці 1-го порядку
- різниці 2-го порядку
- різниці 3-го порядку
Для визначення різниці k – го порядку потрібне знання всіх точок від до :
(5.7)
Можна помітити, що за наявності n+1 точок (0,1,2,.., n), скінчену різницю 1-го порядку можна обчислити тільки для перших n точок (0,1,2,....,n –1), скінчену різницю n – го порядку – тільки для нульової точки, а k – го порядку - тільки для перших n - k+1 точок, тобто треба знати k точок попереду. Інтерполяційний многочлен Ньютона записується таким чином:
(5.8)
Це теж поліном n – го порядку, якщо виконати відповідні множення, то скінчені різниці у виразі – це числові коефіцієнти, обчислені по заданих точках.
Часто замість х вводять безрозмірну величину q, що показує, скільки міститься кроків від до заданої точки . Ця величина визначається таким чином:
.
Тоді
(5.9)
Обидві приведені формули називаються першим інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції вперед.
Д ля інтерполяції в правому кінці відрізка , коли для k останніх точок не можна обчислити потрібні скінчені різниці, використовують многочлен Ньютона, в якому скінчені різниці обчислюються справа наліво, тобто здійснюється інтерполяція назад. Такий многочлен називається другим інтерполяційним многочленом Ньютона для інтерполяції назад.
В цьому випадку
(5.10)
Похибку інтерполяції, як і для многочлена Лагранжа, можна оцінити так:
. (5.11)
Використовування скінчених різниць, що є своєрідними аналогами похідних неперервних функцій, допомагає знаходити похибку інтерполяції, використовуючи співвідношення:
, , ,…, .
Тоді для отримання наближеного значення достатньо мати декілька (або навіть одну) додаткових точок , з використанням яких легко знайти максимальне значення скінченої різниці (n+1) – го порядку:
(5.12)
Аналогічно можна знайти похибку і в методі Лагранжа при рівномірному кроці.
Приклад. Задана таблиця значень функцыъ , необхідно знайти у(2,05). Використовуємо для інтерполяції тільки три перші точки, а решту – для оцінок похибки.
Отже, n+1=3, n=2
х |
у |
Δy |
Δ²y |
Δ³y |
2,0 |
0,0540 |
-0,0100 |
0,0015 |
-0,0002 |
2,1 |
0.0440 |
-0,0085 |
0,0013 |
0 |
2,2 |
0.0355 |
-0,0072 |
0,0013 |
-0,0003 |
2,3 |
0.0283 |
-0,0057 |
0,0010 |
-0,0001 |
2,4 |
0.0224 |
-0,0049 |
0 |
|
2,5 |
0.0175 |
-0,0049 |
|
|
2,6 |
0.0136 |
|
|
|
Скористаємося першою інтерполяційною формулою Ньютона:
Оцінимо похибку знайденого значення у. З таблиці знаходимо, що М3=0,001,
тоді
Формули Лагранжа, Ньютона і інші породжують один і той же многочлен. Різниця лише в алгоритмі їх побудови. Вибір способу інтерполяції визначається різними міркуваннями: точністю, часом обчислень, похибками округлення тощо.
Підвищення точності інтерполяції доцільно проводити за рахунок зменшення кроку і спеціального розташування вузлових точок . Підвищення степеня інтерполяційного многочлена також підвищує точність, проте не завжди (залежить від поведінки похідної . Тому на практиці прагнуть використовувати многочлени малого степеня (лінійний, квадратичний).